ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

«Τα αντικείμενα της ανάλυσης δεν είναι επινοήσεις δικές μας αλλά αντικείμενα της πραγματικότητας που βρίσκονται έξω από μας. Δεν επινοούνται λοιπόν  ,αλλά μας επιβάλλονται. Εμείς οι μαθηματικοί δεν διαφέρουμε σε τίποτα από τους βιολόγους ή τους φυσικούς που ανακαλύπτουν τους υπέροχους νόμους της φύσης «.
                                 Charles Hermite.
Άποψη που θεωρεί ότι τα μαθηματικά είναι «συμπαντικά». Υπάρχουν δηλαδή στο σύμπαν ως φυσικές πραγματικότητες. Δεν επινοούνται λοιπόν από εμάς , αλλά ανακαλύπτονται. Την άποψη αυτού του μαθηματικού ρεαλισμού  ( μαθηματικός νεοπλατωνισμός ) δεν την εστερνίζονται άλλες τάσεις της μαθηματικής φιλοσοφίας.

» O Θεός δημιούργησε τους ακεραίους  , τα υπόλοιπα είναι έργα των ανθρώπων«.
                               Leopold Kronecker (1823 – 1891)

«Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:- Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.
– Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.
– Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.
Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.»

– W. T. TUTTE

«Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλός μας, για να επικοινωνήσει με τον εαυτό του.»

GRACIELLA CHICHILNISKY

Επιστήμη + παραμύθι = Μαθηματικά

Η λογική που από μόνη της μπορεί να προσφέρει τη βεβαιότητα είναι το εργαλείο της απόδειξης , η διαίσθηση  είναι το εργαλείο της επινόησης.

H. Poiancare

Tα μαθηματικά και οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι.


Για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά είχαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί αν και ασχολούνται με αισθητά πράγματα αναφέρονται επίσης στο γενικό, στο αφηρημένο και στο αμετάβλητο. Για παράδειγμα μπορεί σε ένα λογαριασμό να ασχολούμαστε με τρία βόδια ή πέντε δάκτυλα αλλά με το «τρία» ή με το «πέντε» έχουμε περιττούς αριθμούς αεξάρτητους από τα αισθητά αντικείμενα.

Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα μαθηματικά αντικείμενα ως μοναδικές αληθινές ιδέες.Τα έβλεπε ενδιάμεσα μεταξύ των αισθητών αντικειμένων και των υπερτάτων ιδεών.Γι΄αυτό απέδιδε στην μαθηματική γνώση καθοριστικό ρόλο στην εκπαίδευση των νέων.

Ο ίδιος ο Πλάτων επέκρινε τον Εύδοξο , τον Αρχύτα και τον Μέναιχμο που επιχειρούσαν να μεταθέσουν το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου στον χώρο των ενόργανων και μηχανικών κατασκευών και όχι στη χρήση της λογικής αλλά προσπαθούσαν να το επιλύσουν  με οποιοδήποτε δυνατό τρόπο.  Οργίστηκε τόσο που τους αποκάλεσε διαφθορείς και καταστροφείς της γεωμετρίας.Πως τόλμησαν να αφήσουν τα άυλα πνευματικά γυμνάσματα και να ασχοληθούν με αντικείμενα που απιτούσαν χειρωνακτική εργασία.Την εποχή εκείνη τα μαθηματικά ως λογική δομή συνδεόταν με τη φιλοσοφία και οι φιλόσοφοι είχαν την εποπτεία των μαθηματικών.

Ο Ήρωνας στο έργο του «Μετρικά»  λέει  : «οι παλιές περιγραφές μας διδάσκουν ότι η γεωμετρία ασχολείται με τη μέτρηση και διαίρεση της γης». Στην εποχή του η γεωμετρία καινοτομεί και συνδέται με τη μηχανική με θαυμαστά αποτελέσματα. Σε άλλο σημείο αποφαίνεται : » Σε ένα τέτοιο κόσμο η απόλυτη ακρίβεια δεν είναι δυνατή και συχνά πρέπει να αρκεστούμε στην καλύτερη προσέγγιση».

Ο Ήρωνας με εριστική διάθεση στο έργο του Βελοποιικά δημιουργεί το πλαίσιο ανταγωνισμού μεταξύ της φιλοσοφίας και της μηχανικής.Η φιλοσοφία , ισχυρίζεται, χρησιμοποιεί συλλογισμούς οι οποίοι είναι απλές λέξεις ενώ η μηχανική μηχανές που μπορούμε να τις αγγίξουμε.

Ο Αριστοτέλης δεν θεωρούσε τα μαθηματικά αντικείμενα ως ιδέες του πραγματικού κόσμου αλλά ως αφηρημένες ιδέες που περιγράφουν τα φυσικά αντικείμενα χωρίς να είναι αντικείμενα με αυτοτελή ύπαρξη.Ασχολήθηκε με την λογική δομή των μαθηματικών τα οποία χαρακτήριζε: «έξις αποδεικτική» (αποδεικτική συνήθεια). Eπίσης θεωρούσε ότι αντικείμενο μελέτης των μαθημτικών είναι το «καθ’  όλον» κι όχι το «τυχαίο ον». Με τον όρο «καθ’ όλον» εννοούσε τα συμπεράσματα που είχαν καθολική ισχύ και αποδεικνυόταν ότι ισχύουν πάντοτε σε όλες τις συνθήκες. Κάτι σαν τους σταθερούς νόμους της φύσης που διέπονται από μια αιτιοκρατία (ντετερμενισμό). «Τυχαίο ον» είναι οτιδήποτε ισχύει τυχαία σε μεμονωμένες και απροσδιόριστες συνθήκες χωρίς να έχει καθολική και αιτιοκρατική ισχύ. Για το Αριστοτέλη τα τυχαία φαινόμενα δεν αποτελούσαν αντικείμενο μελέτης της μαθηματικής επιστήμης.Για το λόγο αυτό η στατιστική και η θεωρία πιθανοτήτων δεν εμφανίστηκαν στα αρχαιοελληνικά μαθηματικά. Βρισκόταν έξω από τα πλαίσια της καθολικότητας και του αποδεικτικού συλλογισμού.

O Aριστοτέλης διαιρεί τη θεωρητική φιλοσοφία σε τρεις βασικές κατηγορίες , τη φυσική , τα μαθηματικά και τη θεολογία. Κατα τόν ίδιο οι δυο πρώτες κατηγορίες πρέπει ονομαστούν εικασίες παρά γνώσεις. Μόνο τα μαθηματικά μπορούν να προσφέρουν ασφαλή και ακλόνητη γνώση σε όσους ασχολούνται μαζί τους , εφ’ όσον αυτό γίνεται με επιμονή.

O πλατωνιστής φιλόσοφος Αλκίνοος πίστευε ότι τα μαθηματικά πέρα από τη χρησιμότητά τους για πρακτικούς σκοπούς , οξύνουν το πνεύμα και ανυψώνουν τη ψυχή. Δίνουν ακρίβεια και ασφάλεια. Επαναλαμβάνει βέβαια ότι οι μαθηματικές επιστήμες είναι υποδεέστερες της φιλοσοφίας. Αποτελούν προοίμιο του διαλογισμού σαν ένα είδος εκγύμνασης του νου για τις ανώτερες φιλοσοφικές ενασχολήσεις. Είναι «τελετουργίες μύησης» και «προκαταρτικές καθάρσεις» του πνεύματος πριν αρχίσουν οι σπουδαιότερες μελέτες.


Ο Γαληνός αν και ασχολήθηκε με την ιατρική υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά προσφέρουν βεβαιότητα , συμφωνία κια ομόνοια σε αντίθεση με τη φιλοσοφία που επιφέρει υποκειμενικές θεωρήσεις. Είναι ευκολότερο να δημιουργηθεί ομοφωνία σε μια κοινότητα γύρω από τα αυθεντικά κείμενα του Ευκλείδη που στηρίζονται σε αποδεικτικές διαδικασίες.

Ο Πρόκλος πίστευε ότι τα μαθηματικά  είναι εγγενή στη δομή των πραγμάτων και ότι η γλώσσα τους καθιστούσε κάποιον ικανό να διατυπώσει τη γνώση της πραγματικότητας. Τα ίδια τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ενδιάμεσα μεταξύ των πνευματικών και των αισθητών.Η μαθηματική γνώση είναι η πλέον καταλληλότερη για την ανθρώπινη φύση.

Ο Αγέννιος  Ουβρικός θεωρεί ότι η γεωμετρία έχει εξιδείκευση στη λογική.Είναι δύσκολη στην αρχή αλλά προσβάσιμη στη συνέχεια , ευχάριστη λόγω της τάξης , πλήρης ομορφιάς , ασυναγώνιστη στα επιτεύγματά της. Με τις σαφείς προσεγγίσεις της συλλογιστικής της ,φωτίζει το πεδίο της έλλογης σκέψης. Πρέπει να γίνει κατανοητό , καταλήγει ότι η γεωμετρία ανήκει στις τέχνες καα ότι οι τέχνες προέρχονται από τη γεωμετρία.


Οι σκεπτικοί φιλόσοφοι της αρχαίας Ελλάδας , μεταξύ των οποίων οι στωικοί , οι επικούρειοι και μερικοί σοφιστές αμφισβητούσαν κάθε μορφή γνώσης. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι οι σκεπτικοί ανέπτυξαν επιχειρήματα με τα οποία απέρριπταν κάθε γνώση, ενώ οι επικούρειοι υποστήριζαν μια δυσπιστία απέναντι στη γωμετρία. Οι στωικοί δέκριναν δεκαπέντε κατηγορίες αμφισβήτησης της μαθηματικής βεβαιότητας επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον τους στις μαθηματικές αποδείξεις. «Αν πιστεύετε , λένε , ότι υπάρχουν πράγματα που δεν χρειάζονται αποδείξεις , πρέπει να έχετε σπάνια νοημοσύνη για να μη βλέπετε ότι πρώτα πρέπει να υπάρξει απόδειξη του γεγονότος ότι τα πράγματα στα οποία αναφέρεστε , είναι πειστικα αφ’ ευατών και δεν χρειάζεται να αποδειχθούν». Διατύπωσαν δηλαδή την άποψη ότι πρέπει να αποδειχθεί ότι τα μαθηματικά αξιώματα στέκονται αφ΄εαυτού τους χωρίς αναγκαιότητα απόδειξης. Ζητούσαν δηλαδή μια απόδειξη για την μη αναγκαιότητα απόδειξης των αξιωμάτων.Οι στωικοί είναι ιδιαίτερα επικριτικοί πρός τα μαθηματικά και δεν τα έδιναν σημαντική θέση στην επιστημολογία τους.Θεωρούσαν ότι η γνώση στηρίζεται στις αισθήσεις και πρέπει να ενδιαφέρεται για τον πραγματικό κόσμο.Για τον λόγο αυτό σημαντικές γι’ αυτούς επιστήμες ήταν η μαντική , η ιατρική , η διαλεκτική και η ηθική αρετή. Ο Διογένης ο κυνικός αναφέρει χαρακτηριστικά :» φαίνεται ότι οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται περισσότερο για τον ήλιο και τη σελήνη παρά για τα πραγματικά προβλήματα των ανθρώπων». Σκεπτικισμό για τη μαθηματική γνώση εξέφρασαν και ορισμένοι σοφιστές.Ο Ισοκράτης θεωρεί ότι η υπερβολική χρήση των μαθηματικών θα εμποδίσει την αρμονική ανάπτυξη των νέων. Επίσης ότι η υπερβολική ακρίβεια που απαιτούν τα μαθηματικά δεν είναι πάντα αναγκαία. Έλεγε μάλιστα : » αυτές οι γνώσεις ( οι μαθηματικές) είναι κενές συζητήσεις και λεπτολογίες , επειδή κανένα από αυτά τα πράγματα δεν είναι χρήσιμο τόσο στην ιδιωτική όσο και στην δημόσια ζωή». Ο Πρωταγόρας γράφει :»τα πράγματα δεν είναι πάντα έτσι όπως μας τα λένε οι γωμέτρες. Η εφαπτομένη ενός κύκλου , για παράδειγμα, δεν τέμνει τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο όπως μας λένε. Φαίνεται ότι τον τέμνει σε περισσότερα από ένα σημείο».


 Από το βιβλίο : » Aρχαία μαθηματικά της S. Cuomo.

                Τι είναι μαθηματικά;
   Γλώσσα , επιστήμη , λογική ή τέχνη;

Για τα περισσότερα λεξικά που είναι γραμμένα από φιλολόγους μαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά τις ιδιότητες της ποσότητας και του χώρου. Αν βέβαια ρωτήσεις έναν μαθηματικό μάλλον δεν τον καλύπτει αυτός ο ορισμός. Είναι άραγε τα μαθηματικά επιστήμη; Εκεί έρχεται η πρώτη ένσταση. Περισσότερο είναι παιχνίδι φαντασίας , αισθητική απόλαυση , καλλιέργεια του νου , εξύμνηση της λογικής , γλώσσα ερμηνείας του κόσμου , εργαλείο των άλλων επιστημών και τόσα άλλα. Πάντως τώρα που το καλοσκέφτομαι είναι και επιστήμη. Αν και όταν ασχολούμαι με μαθηματικά εγώ προσωπικά δεν νιώθω επιστήμονας. Νιώθω απλά ευχαρίστηση. Τέλως πάντων.
   Μελετά σου λένε την ποσότητα και το χώρο. Μιλάμε λοιπόν για τους δύο παραδοσικά κλάδους των μαθηματικών την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Πως όμως σ΄ αυτόν τον ορισμό θα περιλάβουμε τις 3.400 κατηγορίες των σύγχρονων μαθηματικών ή τα 200.000 θεωρήματα που κυκλοφορούν ανά έτος;Πως θα περικλείσουμε τις χιλιάδες υποκατηγορίες και υποθεωρίες μαθηματικών που δεν μελετούν ούτε ποσότητες ούτε το χώρο; Πως θα χωρέσουμε τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες που αντιβαίνουν σε κάθε εποπτεία του χώρου καθώς απλά διαθέτουν μη αντιφατικότητα;
  Είναι τα μαθηματικά επιστήμη (;) που μελετά το χώρο και τη ποσότητα. Ναι , αλλά μόνο αυτό; Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες είναι μαθηματικά σύμφωνα μ΄αυτό τον ορισμό; Μήπως μαθηματικά είναι μια ακολουθία λογικών συμπερασμάτων που ξεκινούν από αξιώματα καταλήγουν σε τελικές προτάσεις καθ’ όλα ορθές. Είναι λοιπόν τυποκρατικό σύστημα απαγωγής συμπερασμάτων; Ναί , αλλά μόνο αυτό; Είναι παιχνίδι φαντασίας , καλλιέργειας του νου , αναζήτησης βέλτιστων στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων , εξύμνηση της ανθρώπινης λογικής; Ναι αλλά μόνο αυτό; Είναι παγκόσμια γλώσσα με ειδικά σύμβολα και κανόνες συντακτικού για την ερμηνεία του φυσικού κόσμου που μας περιβάλλει; Ας θυμηθούμε τις προσπάθειες απόλυτης τυποποίησης των μαθηματικών κειμένων που χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά μαθηματικά σύμβολα και καθόλου σύμβολα της φυσικής γλώσσας. Ναι αλλά μόνο αυτό; Παρέχει την ευκαιρία σε κάθε επιστήμη να μοντελοποιήσει τα προβλήματα της σε μαθηματική γλώσσα; Δίνει έτσι τη δυνατότητα στα μαθηματικά να αποτελούν ενοποιητικό γλωσσικό και ερμηνευτικό εργαλείο όλων των επιστημών; Ναι αλλά μόνο αυτό;  Τότε όμως τα μαθηματικά μοντέλα της οικονομίας  , ή τα βιολογικά μοντέλα , ή τα μοντέλα μεγιστοποίησης του κέρδους και ελαχιστοποίησης του κόστους παραγωγής , ή τα μοντέλα μετερεωλογικών προβλέψεων που περιέχουν πλειάδα διαφορικών εξισώσεων τι σχέση έχουν με την ποσότητα και το χώρο; Ενυπάρχει η ομορφιά , η αρμονία , η αισθητική ως πρωταρχικό παράγοντα της μαθηματικής δημιουργίας; Ναι αλλά μόνο αυτό;Αποτελούν τα μαθηματικά έκφραση διασκέδασης του νου μέσα από το παιχνίδι , τη σπαζοκεφαλιά , την λογική αντίφαση , τη φαντασία εύρεσης της καλύτερης και συντομότερης λύσης; Ναι αλλά μόνο αυτό; Είναι πάντα τα μαθηματικά συνδεδεμένα με την πραγματικότητα που μας περιβάλλει; Κάποτε ναι προσπαθώντας να ερμηνεύσουν και να επιλύσουν προβλήματα που ανακύπτουν γίνονται εφαρμοσμένα. Βιομαθηματικά , Οικονομικά μαθηματικά , μαθηματική στατιστική , μαθηματική φυσική , Ιατρικά μαθηματικά … Άλλοτε γεννιώνται τα άχρηστα μαθηματικά όπως τα αποκαλεί ο Hardy και τότε το κίνητρό τους είναι διαφορετικό. Αλγεβρική θεωρία αριθμών , τοπολογία , διαφορική γεωμετρία , αξιωματική θεωρία συνόλων , διαφορίσιμες πολλαπλότητες , θεωρία τανυστών ….
Τελικά βασικά στοιχεία της μαθηματικής δημιουργίας ( αντί  επιστήμης ) είναι η πολλαπλότητα και η ελευθερία. Σου δίνουν την ευκαιρία να τα προσεγγίσεις μέσα από όλα τα προηγούμενα. Όποια έκφραση προσπαθεί να αρπάξει για τον εαυτό της την οικειοποίση του μαθηματικού γεγονότος σφάλλει. Διαπράττει μια ανεπίτρεπτη μονομέρεια και επιβάλλει έναν μαθηματικό φασισμό.
Υ.Γ :    Το τί είναι μαθηματικά και τί οχι προφανώς είναι σχετικό…
  • Για έναν φιλόλογο η επιστήμη μελέτης της ποσότητας και του χώρου.
  • για έναν παίκτη τυχερών παιγνιδιών η πιθανότητα 1/6 που έχω να φέρω 6 σε ένα ζάρι.
  • Για ένα προγραμματιστή μαθηματικά είναι τα διάφορα αλγοριθμικά προβλήματα που συναντάει στην κατασκευή ενός προγράμματος.
  • για έναν φυσικό ή βιολόγο μια παγκόσμια γλώσσα ερμηνείας του κόσμου..
  • Για έναν μαθηματικό όμως τα μαθηματικά μάλλον προσεγγίζουν περισσότερο την φαντασία ενός έργου τέχνης που διαθέτει συγχρόνως γοητεία και αισθητική απόλαυση…
    Μόσχος Αλέξανδρος

                   Μαθηματικά είναι …

    Τα Μαθηματικά συχνά ορίζονται ως η μελέτη των ποσοτήτων, των δομών, των μεταβολών και του χώρου. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη τα μαθηματικά είναι η έρευνα των αξιωματικά θεμελιωμένων αφηρημένων δομών χρησιμοποιώντας τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία.
Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισμένα αξιώματα και ορισμούς. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τους τομείς που μελετούν για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα μαθηματικά ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.

Τα μαθηματικά με περιγραφικό τρόπο παρουσίασης.

Ένας τρόπος για να μελετήσεις την φύση των μαθηματικών και το ακτικείμενο μελέτης τους είναι ο περιγραφικός. Να περιγράψεις δηλαδή όσο γίνεται συνοπτικά αλλά και πληθωρικά αυτό που κάνουμε στα μαθηματικά. Τότε θα μπορούσες να ορίσεις τα μαθηματικά ως τομέα εκείνο της ανθρώπινης δραστηριότητας που ασχολείται με την αρίθμηση , την εκτίμηση , τις πράξεις των αριθμών , τον υπολογισμό , την σύγκριση ,  την αναλογία ,τ ην ομαδοποίηση , την εύρεση προτύπων και μοντέλων , την επίλυση πρακτικών προβλημάτων , την αναζήτηση βέτσιστων λύσεων , την ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση ποσοτήτων , την περιγραφή σχέσεων , την μελέτη ειδών σχέσεων , την αλληλεξάρτηση μεγεθών , την εύρεση δεδομένων , την αναπαράσταση δεδομένων ,  την παρατήρηση , τη συλλογή και την περιγραφή ,  τη χρήση διαγραμμάτων , εύρεση μέσων όρων και πιθανοτήτων να συμβούν γεγονότα , την στατιστική επεξεργασία , την πρόβλεψη ,  την συσχέτιση μεγεθών ,την μοντελοποίηση προβλημάτων άλλων επιστημών , την μελέτη : σχημάτων , ομοιότητας , ισότητας , σμίκρυνσης ή μεγένθυνσης  , ιδιοτήτων , μεγεθών ,  εμβαδού και όγκου , μελέτη αξιωμάτων ,  θεωρημάτων και  κανόνων λογικής συγκρότησης , τον αποκλεισμό της αντίφασης , τη μελέτη λογικά πιθανών συμβάντων , την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης , την μελέτη εικασιών , την συγκρότηση λογικών βημάτων , την εύρεση αλγορίθμων , την επικύρωση , την λογική συμπερασματολογία , το παιχνίδι λογικής και φαντασίας , την αναζήτηση της ομορφότερης αισθητικά λύσης , την ελκυστικότητα και τη γοητεία της λογικής , την πολλαπλή αναπαράσταση μια έννοιας , παρουσίαση πινάκων και γραφικών παραστάσεων , έκφραση συμβόλων που παριστάνουν έννοιες , μετάφραση πραγματικών γεγονότων σε μαθηματική γλώσσα.
Περιγράψαμε άραγε την πλειονότητα των μαθηματικών ακτικειμένων; Προφανώς όχι. Αναδείξαμε όμως την πολλαπλότητα του μαθηματικού νοήματος.

  Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΩΣ ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΙΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ.

Η επιστημονική γνώση πλησιάζει την καλλιτεχνική δημιουργία. Και στη μία και στην άλλη περίπτωση έχουμε να κάνουμε με μιαν ύλη που την πλάθει ο νους και με έναν νου που πλάθει την ύλη. Τίποτα δεν είναι δοσμένο από πριν μέσα στη γνώση μα ούτε μέσα στον ίδιο τον κόσμο. Κόσμος και γνώση είναι δυο κινούμενα σχήματα που αλλάζουν αδιάκοπα σε στενή αλληλεξάρτηση. Αδιάκοπα καινούργιες σχέσεις γεννιούνται μεταξύ τους. Αυτή είναι η διαλεκτική σχέση.
Η επιστήμη είναι λοιπόν όπως και η τέχνη κάτι ανοιχτό που πλάθεται αδιάκοπα με στενή συνεργασία του κόσμου και του νου. Τα πράγματα οδηγούν το νου σε καινούριους δρόμους για να βρει καινούρια γνωστικά μέσα , καινούρια μαθηματικά σχήματα , που να μπορούν να εκφράσουν καλύτερα τον κόσμο.
Η θεωρία της σχετικότητας , των κβάντα στη φυσική , οι ευκλείδειες και μη ευκλείδειες γεωμετρίες στα μαθηματικά , ο ντετερμινισμός και ο ιντετερμινισμός δείχνουν πόσο ανοιχτά πρέπει να μένουν τα νοήματα της φιλοσοφίας και της επιστήμης. Η πραγματικότητα προβάλλει σαν πολύπλευρη κι αντιφατική και η επιστήμη μοιάζει με πελώρια φαντασία που δημιουργεί έναν κόσμο πιθανό , ποθ όμως τρέχει ολοένα κι αλλάζει.

Από το βιβλίο : » Εισαγωγή στη Φιλοσοφία » του Χ. Θεοχαρίδη εκδόσ. ΕΣΤΙΑΣ , Αθήνα 1955.

              ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΤΙΑ ΕΝΟΣ ΦΥΣΙΚΟΥ

Στο παρελθόν, το τρίπτυχο παρατήρηση- πείραμα- θεωρία αποτελούσε τη βάση της Επιστήμης. Σήμερα, όμως, υπάρχουν σημαντικές περιοχές της Επιστήμης που αυτό δεν ισχύει, π.χ. δεν είναι δυνατόν να παρατηρήσουμε τις απειροελάχιστες υποδιαιρέσεις της ύλης ( άτομα, πρωτόνια, νετρόνια, κουάρης, λεπτόνια, μιόνια, κλπ) . Σε αυτή την καινούργια πραγματικότητα τα Μαθηματικά λόγω της αφηρημένης φύσης τους, παίζουν όλο και πιο σημαντικό ρόλο. Σήμερα υπάρχουν δύο θεμελιώδη ανοιχτά προβλήματα : 1) Η ανακάλυψη της θεωρίας που θα ενοποιεί όλες τις δυνάμεις της φύσης (βαρυτικές- ηλεκτρομαγνητικές- ισχυρές πυρηνικές, ασθενείς πυρηνικές). Η ζητούμενη αυτή θεωρία είναι η ονομαζόμενη θεωρία των πάντων. 2) Η κατανόηση της συνείδησης, δηλαδή του μηχανισμού δια μέσω του οποίου η ενεργοποίηση νευρικών κυττάρων οδηγεί τελικά στη δημιουργία μνήμης, σκέψης και συναισθημάτων.
Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι τα μαθηματικά θα παίξουν καθοριστικό ρόλο στη λύση του πρώτου προβλήματος και επίσης, θα έχουν συνεισφορά στη λύση του δευτέρου, ιδιαίτερα δια μέσου υπολογιστικών προσομοιώσεων και απεικονιστικών τεχνικών, όπως η μαγνητοεγκεφαλογραφία.
Μελετώντας την ιστορία, βλέπουμε ότι τα μαθηματικά δημιουργούνται είτε για τη λύση συγκεκριμένων πρακτικών προβλημάτων (εφηρμοσμένα μαθηματικά) είτε γιατί η έρευνα αναπόφευκτα δημιουργεί ερωτήματα πολύ απόμακρα από το πρωταρχικό πρόβλημα και αυτό με τη σειρά του οδηγεί στη δημιουργία αφηρημένων μαθηματικών δομών (θεωρητικά μαθηματικά). Η περαιτέρω διερεύνηση αυτών των δομών είναι χαρακτηριστική εκδήλωση της ανθρώπινης διανοητικής περιέργειας. Τα μαθηματικά χαρακτηρίζονται από ένα υψηλό επίπεδο πολυπλοκότητας, το οποίο συγχρόνως εκδηλώνεται με μια ενδογενή βαθύτατη αισθητική. Όσο περισσότερο εμβαθύνει κανείς στα μαθηματικά τόσο περισσότερο εκστασιάζεται από την ανείπωτη ομορφιά τους.
Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Αλλά, γενικότερα, η αναζήτηση της αλήθειας, δια μέσου της επιστημονικής έρευνας γεννά όλο και πιο βαθιά και πολυσύνθετα ερωτήματα, που με τη σειρά τους οδηγούν στην τάση για μια ενοποιημένη αντιμετώπισή τους και κατά συνέπεια στη φιλοσοφία.

Γράφει ο Γεώργιος Χουτζαίος ( μαθηματικός και φυσικός ).

   ΕΝΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΓΛΩΣΣΟΛΟΓΟ ΚΙ ΕΝΑΝ ΨΥΧΟΛΟΓΟ.

«Τα μαθηματικά συγκροτούν τμήμα του αντιληπτικού συστήματος του ανθρώπου, μέσω του οποίου εμφανίζουν τις ακόλουθες ξεχωριστές ιδιότητες: Ακρίβεια, συνέπεια, σταθερότητα στον χρόνο αλλά και στις ανθρώπινες κοινωνίες, αντίληψη των συμβόλων, μέτρηση/υπολογισμό, γενίκευση, παγκόσμια διαθεσιμότητα (σσ: συμπαντική γλώσσα), συνοχή με κάθε ένα από τα αντικείμενά τους (σσ: ουδέποτε τα πορίσματά τους παρουσιάζουν μεταξύ τους αντιφάσεις) και αποτελεσματικότητα ως γενικό εργαλείο περιγραφής, εξήγησης και πρόβλεψης, για ένα ευρύτατο φάσμα ανθρώπινων δραστηριοτήτων, (που εκτείνονται) στον αθλητισμό, τις κατασκευές, την επιχειρηματική δραστηριότητα (σσ: αλλά και το άτομο, την οικογένεια, τη συλλογικότητα, ως οικονομικές μονάδες), την τεχνολογία και την επιστήμη». (Where Mathematics Comes From/ G.Lakoff, R.Nunez, 2000).
Η παραπάνω πολύ ενδιαφέρουσα προσπάθεια ορισμού των μαθηματικών, οφείλεται, προσέξτε, όχι σε κάποιο μαθηματικό επιστήμονα, αλλά σε έναν γνωσιακό γλωσσολόγο («cognitive linguist») και σε έναν ψυχολόγο, γεγονός που υποδηλώνει ότι η μαθηματική επιστήμη αποτελεί αντικείμενο μελέτης άλλων επιστημονικών κλάδων και μάλιστα τέτοιων που δεν θα περίμενε κανείς να έχουν οποιαδήποτε σχέση με τα μαθηματικά. Ο ορισμός επισημαίνει ότι η παρουσία των μαθηματικών σημειώνεται -είτε εμείς το αναλογιζόμαστε είτε όχι- σε όλες σχεδόν τις δραστηριότητες της ζωής μας, γεγονός εξ άλλου ευρύτερα συζητημένο και γνωστό. Αν δεν υπήρχαν τα μαθηματικά, πώς θα μπορούσαμε να κάνουμε οικονομικές συναλλαγές, να μετράμε το χρόνο, να υπολογίζουμε αποστάσεις, ταχύτητες, να κάνουμε κατασκευές, να κάνουμε συγκρίσεις, να υπολογίζουμε ποσότητες, να μετράμε μήκη, πλάτη, ύψη, να ταξιδεύουμε στον αέρα ή στο διάστημα και πόσα άλλα;   Μπορεί ωστόσο με αφορμή όλα αυτά, να τεθεί ένα άλλο εύλογο ερώτημα: ‘Eχουν άραγε ή όχι τα μαθηματικά κάποια σχέση και με την εσωτερική, την όχι άμεσα ορατή πλευρά της Ζωής γενικότερα, αλλά και της ατομικής μας ζωής ειδικότερα, τις σκέψεις, τα αισθήματά μας, που διαφεντεύουν τις εξωτερικές μας εκδηλώσεις, τις δράσεις μας; ‘Eχουν σχέση με τη διαμόρφωση της προσωπικότητάς μας; Πρόκειται για ζητήματα που αξίζει να τα διερευνήσουμε έστω και σε μια αδρή προσέγγιση.
  

 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΚΟΣΜΟ.

Ζούμε σε ένα κόσμο που είναι περισσότερο μαθηματικός, περισσότερο ποσοτικός, από ποτέ. Για να λειτουργήσεις στον κόσμο σήμερα, πρέπει να έχεις ποσοτική αντίληψη, πολύ περισσότερο απ’ ότι πριν από μερικά χρόνια. Να υπολογίσεις την υποθήκη σου, να κρίνεις τα στατιστικά νούμερα της κυβέρνησης, τέτοια πράγματα. Και τρίτον, αυτό που θα ονόμαζα λογική εκπαίδευση του μυαλού, λογική σκέψη. Με το πέρασμα των ετών εισάγαμε τόσα πολλά στην κοινωνία για να μπορούμε να επεξεργαστούμε και να σκεφτούμε λογικά. Είναι μέρος της ανθρώπινης κοινωνίας.Ας δούμε ένα παράδειγμα νεοποσοτικής αντίληψης της εποχής μας.  Παλιότερα ρωτούσες : » Είναι μεθυσμένος;». Σήμερα η απάντηση δεν αφορά μια απλή κατάφαση ή άρνηση. Στην σύγχρονη εποχή η απάντηση περιέχει μια ποσοτική ανάλυση. Δεν μας ενδιαφέρει αν είναι μεθυσμένος αλλά πόσο μεθυσμένος. Μετράμε με τα αλκοτέστ την ποσότητα της αλκοόλης στο αίμα του και καθορίζουμε ανώτατα επιτρεπτά όρια συγκέντρωσης. Κάνουμε πλέον  πραγματικές ερωτήσεις, όπως ποιό είναι το καλύτερο συμβόλαιο ασφάλειας ζωής; — πραγματικές ερωτήσεις που αντιμετωπίζουν οι άνθρωποι στις καθημερινές τους ζωές. Και βλέπετε, δεν είναι κάποιο απλοποιημένο μοντέλο εδώ. Αυτό είναι ένα πραγματικό μοντέλο όπου μπορούμε να ζητήσουμε το βέλτιστο αποτέλεσμα. Πόσα χρόνια ασφάλειας χρειάζομαι; Τι γίνεται με αυτό στις πληρωμές και στον τόκο κλπ;
Στον πραγματικό κόσμο τα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούνται απαραιτήτως από μαθηματικούς. Χρησιμοποιούνται από γεωλόγους, μηχανικούς, βιολόγους, όλων των ειδών άνθρωποι – που χρησιμοποιούν μοντέλα και προσομοιώσεις. Στην πραγματικότητα είναι πολύ δημοφιλή. Αλλά στην εκπαίδευση τα πράγματα είναι διαφορετικά – απλουστευμένα προβλήματα, πολλοί υπολογισμοί – κυρίως με το χέρι.Παλιότερα υπήρχε μόνο ένας τρόπος να κάνουμε υπολογισμούς: με το χέρι. Αλλά τις τελευταίες δεκαετίες αυτό άλλαξε ολοκληρωτικά. Είχαμε τη μεγαλύτερη μεταβολή από κάθε αρχαίο πεδίο που θα μπορούσα να φανταστώ ποτέ με τους υπολογιστές.  Επομένως σκέφτομαι με όρους του γεγονότος ότι τα μαθηματικά απελευθερώθηκαν από τους υπολογισμούς. Αλλά η απελευθέρωση των μαθηματικών δεν πέρασε στην εκπαίδευση ακόμα. Βλέπετε, αντιμετωπίζω τους υπολογισμούς, κατά μια έννοια, ως τη μηχανή των μαθηματικών. Είναι η αγγαρεία. Είναι αυτό που θέλεις να αποφύγεις αν μπορείς, που θα ‘θελες να κάνει μια μηχανή. Είναι το μέσο για ένα σκοπό, όχι αυτοσκοπός. Και η αυτοματοποίηση μας επιτρέπει να έχουμε αυτή τη μηχανή. Οι υπολογιστές μας επιτρέπουν να το κάνουμε αυτό. Και αυτό δεν είναι μικρό πράγμα. Υπολόγισα ότι μόνο σήμερα σε όλο τον κόσμο, ξοδέψαμε περίπου 106 ζωές μέσης διάρκειας διδάσκοντας ανθρώπους πώς να κάνουν υπολογισμούς με το χέρι. Αυτό πρέπει να αλλάξει. Μαθηματικά δεν μπορεί στο σήμερα να είναι η επιστήμη των υπολογισμών , αλλά η επιστήμη των ποσοτικών αναλύσεων , βέλτιστων λύσεων , μοντελοποίησης της πραγματικότητας και λογικής επεξεργασίας.

 Conrad Wolfram,  αδερφός του κατασκευαστή της ομώνυμης μηχανής αναζήτησης.
( με την ευγενική παρότρυνση του εξαίρετου συναδέλφου Γρηγοράκη Γιάννη ).

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 
      Σ’ ένα διάσημο άρθρο , ο Wigner εκφράστηκε ως εξής: ΄΄Η τεράστια χρησιμότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες είναι κάτι οριακό στο μυστήριο και … δεν υπάρχει σχετική εξήγηση γι’ αυτό .΄΄ ( Wigner , 1960:2)
   Το ουσιώδες στοιχείο , η βαθύτατη στρατηγική των μαθηματικών , ενσωματώνει γνωστικούς μηχανισμούς , οι οποίοι έχουν εμπλακεί σαν άλλους βιολογικούς μηχανισμούς , με αντιπαράθεση στην πραγματικότητα τα οποία έχουν γίνει γενετικώς σταθερά στο δρόμο της εξέλιξης .Θα αναφερθώ σ’ αυτήν την ουσιώδη στρατηγική σαν την λογικο – λειτουργική συνιστώσα των μαθηματικών .
    Ο Piaget καταλαβαίνει τα γνωστικά σχήματα τα οποία αφορούν ομαδοποιήσεις των φυσικών αντικειμένων , διευθέτησή τους σε σειρά , σύγκριση ομαδοποιήσεων κτλ. Αυτά τα βασικά προμαθηματικά σχήματα έχουν ένα γενετικό φάκελο αλλά είναι ώριμα από στάδια στην πνευματική ανάπτυξη της ατομικότητας .Αυτά είναι βασισμένα στα ισάξια γενετικά καθορισμένα λογικο – λειτουργικά σχήματα , μία έκφραση την οποία έχω προτείνει , καθώς αυτά τα σχήματα κινούνται στο μη ανθρώπινο επίπεδο .Τα λογικο – λειτουργικά σχήματα διευθετούν τη βάση των λογικών μας σκέψεων .Καθώς είναι θεμελιώδη ιδιότητα του νευρικού συστήματος στη λειτουργία μέσω επαναλαμβανόμενων βημάτων , κάθε υποθετική αναπαράσταση την οποία θεωρούμε , ασχολείται με την ίδια ΄΄λογική΄΄ χειρισμού σαν να ασχολούμαστε με καταστάσεις της πραγματικής ζωής .Ξεκινώντας με τα στοιχειώδη λογικο – μαθηματικά σχήματα , η ιεραρχία είναι πραγματικότητα . Κάτω απ’ την ώθηση κοινωνικοπολιτιστικών παραγόντων , μαθηματικές αρχές εισήχθησαν και κάθε νέα στρωμάτωση συγχωνεύεται με τις προηγούμενες στρωματώσεις .Στη δόμηση νέων στρωματώσεων , οι ίδιοι γνωστικοί μηχανισμοί ενεργούν με σεβασμό στις προηγούμενες στρωματώσεις όπως ενεργούν με σεβασμό σε μια περιβαλλοντολογική είσοδο .Αυτό ίσως εξηγεί γιατί οι ενεργοί μαθηματικοί προδιατίθενται στις πλατωνικές ψευδαισθήσεις .Η αίσθηση της πραγματικότητας που κάποιος βιώνει , ασχολείται με μαθηματικές αρχές απ’ το γεγονός ότι σε ‘όλες τις υποθετικές συζητήσεις το αντικείμενο της συζήτησής συμπεριφέρεται στο νευρικό σύστημα με γνωστικούς μηχανισμούς , το οποίο έχει εμπλακεί μέσω αλληλεπιδράσεων με την εξωτερική πραγματικότητα .
Αθροίζοντας : τα μαθηματικά δεν αντανακλούν την πραγματικότητα .Αλλά οι γνωστικοί μηχανισμοί έχουν πάρει την άδεια να μιλούν μέσω συναλλαγής με τον κόσμο. Η εμπειρική συνιστώσα στα μαθηματικά δείχνει τον εαυτό της όχι σε θεματικό επίπεδο το οποίο είναι επιστημονικά αποφασισμένο , αλλά μέσω των λογικο– λειτουργικών και λογικο – μαθηματικών σχημάτων .Όπως τα δείγματα και οι οδηγίες στα μαθηματικά συμφωνούν , είναι αποσυντεθειμένες από τους λογικο – λειτουργικούς νευρικούς μηχανισμούς και τα περιληπτικά δείγματα και οδηγίες , αποκτούν την ιδιότητα των ενδεχόμενων γνωστικών σχημάτων , εισάγοντας περιληπτικές παγκόσμιες εικόνες .Τα μαθηματικά είναι μια ξεχωριστή πλούσια γνωστική πισίνα του ανθρώπινου είδους απ’ την οποία τα σχήματα μπορούν να ζωγραφιστούν εισάγοντας θεωρίες οι οποίες έχουν να κάνουν με φαινόμενα τα οποία κείτονται στην έκταση των καθημερινών εμπειριών και ακόμη για την οποία η συνήθης γλώσσα είναι ανεπαρκής .Τα μαθηματικά είναι δομημένα από γνωστικούς μηχανισμούς οι οποίοι έχουν αναπτυχθεί σε αντιπαράθεση με την εμπειρία , και με τη σειρά τους τα μαθηματικά είναι ένα εργαλείο για κατασκευαστικές κυριότητες της έμμεσης εμπειρίας .Αλλά τα μαθηματικά είναι κάτι παραπάνω από ένα εργαλείο .Τα μαθηματικά είναι μια συλλογική εργασία της τέχνης που αντλεί την αντικειμενικότητά της μέσω κοινωνικών αλληλεπιδράσεων .΄΄Ο μαθηματικός , όπως ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής , είναι κατασκευαστής δειγμάτων΄΄, γράφει ο Hardy (1969:84). Η μεταφορά της ύφανσης έχει συχνά επικαλεστεί .Αλλά ο μαθηματικός είναι ένας υφαντής ενός πολύ καλού είδους .Όταν ο υφαντής φθάνει στον αργαλειό , έχει να βρει ένα ύφασμα ήδη , φτιαγμένο από γενιές προηγούμενων υφαντών όπου η έναρξή τους προσδιορίζεται πέρα από τους ορίζοντες .Ακόμη με το νήμα της δημιουργικής φαντασίας,υπαρκτά δείγματα είναι εκτεταμένα και μερικές φορές τροποποιημένα .Ο υφαντής ίσως μόνο προσθέσει ένα όμορφο μοτίβο ή να καλυτερεύσει την υφή , μερικές φορές ο υφαντής ίσως να νοιάζεται περισσότερο για τη πιθανή χρήση του ρούχου .Αλλά η ύφανση με το χέρι , για οποιοδήποτε μοτίβο μπορεί να φθάσει για τη σαίτα του αργαλειού , είναι το πολύ χαρισματικό όργανο το οποίο ξετυλίγεται σαν ένα άπληστο όργανο σφιγκτήρας και οι ενέργειές της έχουν περάσει το τεστ της προσαρμοστικής εξέλιξης .Στα μαθηματικά ο τεχνίτης και ο καλλιτέχνης είναι ενωμένοι μέσα σε μια μη ξεχωριστή ακεραιότητα και η ένωση η οποία αντανακλά τη μοναδικότητα του ανθρώπινου είδους όπως η ανθρώπινη φυλή (Homo artifex) .
ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΕΝΑΝΤΙΟΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ 
΄΄Αλλά πες μου΄΄, ρώτησε ο Σωκράτης στο διάλογο του Renyi , ΄΄ο μαθηματικός που βρήκε νέα αλήθεια , την επινόησε ή την ανακάλυψε ;΄΄ Όλοι ξέρουμε ότι ένας έξυπνος τρόπος για να ξεκινήσει μια φιλοσοφική συζήτηση μετά από ένα δείπνο είναι να υποβληθεί μια τέτοια ερώτηση .Ο κόσμος συμφωνεί ότι ακολουθώντας μια γενική χρήση της γλώσσας , ο Columbus δεν επινόησε την Αμερική , ούτε ο Beethoven ανακάλυψε την 9η συμφωνία .Αλλά όταν ένα νέο φάρμακο εμφανίζεται , μιλάμε γενικά για μια ανακάλυψη , αν και το συστατικό του φάρμακου δεν υπήρχε πουθενά πριν δημιουργήσει τη σύνθεσή του .Ο Hadamard , στην εισαγωγή του βιβλίου του Η ψυχολογία της επινόησης στο Μαθηματικό πεδίο , σχολιάζει ότι ΄΄υπάρχουν πολλά παραδείγματα από επιστημονικά αποτελέσματα τα οποία όσο ανακαλύψεις είναι , άλλο τόσο είναι και επινοήσεις΄΄, αν και προτιμά να μην επιμένει στη διάκριση μεταξύ επινόησης και ανακάλυψης (1945:xi) .Αλλά υπάρχουν ακόμη φιλόσοφοι των μαθηματικών που υποστηρίζουν τη βασική διάκριση ανάμεσα στην ανακάλυψη και την επινόηση .Διαισθητικά , οι μαθηματικές προτάσεις είναι πνευματικές κατασκευές και επομένως δεν μπορούσαν να προκύψουν από μια ανακάλυψη .Ο νεοπλατωνιστής , απ’ την άλλη μεριά , πιστεύει ΄΄ότι η μαθηματική πραγματικότητα βρίσκεται έξω από μας , όπου η λειτουργία μας είναι να την ανακαλύψουμε ή να την παρατηρήσουμε προσεχτικά΄΄, όπως το έθεσε ο Hardy (1969:123). Η τυπικότητα , αν και για διαφορετικούς λόγους , συμφωνούσε με τη διαισθητική και θεωρούσε ότι τα μαθηματικά επινοημένα .Προφανώς , ούτε ο λογικισμός , ούτε η τυπολατρία υποστηρίζουν τη διχοτόμηση της ανακάλυψης – επινόησης .Είναι η διαμάχη της επινόησης εναντίον της ανακάλυψης ένα ανώφελο θέμα ή μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει τη κοινή λογική στη διάκριση των δύο όρων , για να διευκρινίσει τη ξεχωριστή σημασία των δύο για την ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης ; Ας εξετάσουμε το θέμα μ’ ένα τυπικό παράδειγμα .Προτείνω να αποδείξουμε ότι :
η αρχή του ‘πρώτου αριθμού’ είναι μια επινόηση
το θεώρημα ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί είναι μια ανακάλυψη
(Σημ.:διατύπωση του Euclid , βιβλίο 9 , πρόταση 20 , λέει :΄΄Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε μεγάλο αριθμό από ορισμένους πρώτους αριθμούς .΄΄)
Γιατί θα έπρεπε η αρχή του πρώτου αριθμού να θεωρούνταν επινόηση , ένα απολύτως δημιουργικό βήμα το οποίο δεν χρειάστηκε να αποδειχθεί , ενώ αντιθέτως εμφανίζεται μια εξέταση των αναλυμένων ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών να οδηγεί κατευθείαν στην ανακάλυψη ότι μερικοί αριθμοί είναι σύνθετοι και άλλοι όχι , και αυτό μοιάζει με μια απλή πεζή θεωρία ; Δεν ήταν οι πρώτοι αριθμοί ήδη εκεί , σαν μέλος της ακολουθίας των φυσικών αριθμών , πριν τους παρατηρήσουν κάποιοι ; Τώρα τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά .Πρώτ’ απ’ όλα , οι αριθμήσιμοι αριθμοί , σαν ταξινομημένη διάταξη , δεν έκαναν μια ξαφνική εμφάνιση σαν μια αόριστα εκτεταμένη ακολουθία .Μερικοί πολιτισμοί ποτέ δεν πήγαν πέρα από τους επινοημένους αριθμούς δηλαδή τους αρχικούς ακέραιους αριθμούς .Υπάρχουν ακόμη γλώσσες φτωχές σε καθαρά αριθμητικές λέξεις .Αλλά ακόμη και σε πολιτισμούς με υψηλή ανάπτυξη στην αριθμητική , όπως στην αρχαιότητα η Βαβυλωνία , η Αίγυπτος ή η Κίνα , η αρχή των πρώτων αριθμών ήταν ανύπαρκτη .Ο Μο (1982) έδειξε πως οι μαθηματικοί στην αρχαία Κίνα , αν και δεν ήξεραν την αρχή των πρώτων αριθμών , έλυναν προβλήματα απλοποίησης κλασμάτων σε χαμηλότερους βαθμούς , πρόσθεσης κλασμάτων και έβρισκαν Πυθαγόρεια τρίγωνα .Μπορούσε μετριοπαθώς να είπε ότι οι Κινέζοι μόλις έχασαν την ανακάλυψη των πρώτων αριθμών και έτσι έκαναν τους Βαβυλώνες και τους Αιγυπτίους , παρά την υψηλή ανάπτυξη της μαθηματικής κουλτούρας τους να επεκταθούν για χιλιάδες χρόνια ; Δεν το νομίζω. Ανακεφαλαιώνοντας φαίνεται σε μας ότι υπήρχαν μάλλον μερικές απαιτήσεις στις οποίες η αρχή των πρώτων αριθμών σκοντάφτει πάνω σ’ αυτές .Αλλά αυτό είναι μια παραπλανητική εντύπωση .Η εξέλιξη , βιολογική ή πολιτιστική, είναι καιροσκοπική. Πολλά από τα μοντέρνα μαθηματικά θα ήταν ακόμα άγνωστα , αν η αρχή των πρώτων αριθμών ήταν άγνωστη , αν και η θεωρία των αριθμών άρα και το τμήμα της θεωρητικής άλγεβρας θα ήταν διαφορετικά .Υπάρχουν υποσύνολα του ΙΝ από τα οποία μόνο μπορεί να είναι ορισμένα από γλωσσικές έννοιες .Δεν ανακαλύψαμε ούτε επινοήσαμε καθένα απ’ αυτά τα υποσύνολα ξεχωριστά. Αλλά όταν το επινοητικό βήμα συμπεριέλαβε τη διατύπωση της αρχής των πρώτων αριθμών , ένα απ’ αυτά τα υποσύνολα του ΙΝ ξεχώρισε (αυτό είναι το λεγόμενο , εκτελώ χρέη μοντέλου, στη μοντέρνα ορολογία) .Μερικοί ιστορικοί των μαθηματικών αποδίδουν στους Πυθαγόρειους κάποια θεωρήματα με σχέση τους πρώτους αριθμούς, αλλά αυτό πιο πολύ μοιάζει με το ότι η αρχή των πρώτων αριθμών είναι πιο πρόσφατου χρόνου .Είναι κατανοητό ότι υπάρχει μια σύνδεση ανάμεσα στους κοσμολογικούς στοχασμούς για την ακριβή σύσταση του θέματος από τους Έλληνες ατομιστές και σκέφτοντας για τα αριθμητικά άτομα , αυτό είναι , οι πρώτοι αριθμοί. Ένα πράγμα είναι βέβαιο : η επινόηση της μαθηματικής σκέψης είναι συνδεδεμένη με το πολιτισμό .Όπως ο White (1956) επικύρωσε κόντρα στο Πλατωνιστικό δόγμα το ΄΄ο τόπος της μαθηματικής πραγματικότητας είναι πολιτιστική παράδοση΄΄ .Η εξέλιξη των μαθηματικών σκέψεων γίνεται αντιληπτή μόνο στο κατάλληλο κοινονικοπολιτιστικό περιβάλλον .
Ας παρατηρήσουμε ότι οι αρχές μπορεί να οριστούν ρητά , όπως στη περίπτωση των πρώτων αριθμών , ή αναμφίβολα από ένα σύστημα αξιωμάτων , σαν μια αρχή μιας ομάδας .Και στις δύο περιπτώσεις είναι μια επινοητική πράξη .Τα θεωρήματα , απ’ την άλλη μεριά , έχουν περισσότερο το χαρακτήρα της ανακάλυψης, με τη λογική ότι ένας ανακαλύπτει ένα δρόμο συνδέοντας διαφορετικές τοποθεσίες. Μόλις κάποιες αρχές εμφανίστηκαν και έτσι άξιες αναφοράς , είναι ήδη εκεί , είναι θέμα ανακάλυψης η σύνδεσή τους και αυτό είναι η λειτουργία των αποδείξεων. Πίσω στο θεώρημα ότι κανένα πεπερασμένο σύνολο πρώτων αριθμών μπορεί να περιέχει όλους τους πρώτους , έχει το χαρακτήρα της ανακάλυψης όταν ένας αποδεικνύει έναν ταξιδιωτικό χάρτη (Goodstein , 1970) συνδέοντας ΄΄ το σύνολο των πρώτων ΄΄ και ΄΄τον αριθμό στοιχείου΄΄ ώστε να φτιάξει ένα μονοπάτι για το συμπέρασμα .Ένα προτεινόμενο μονοπάτι ίσως είναι ίσως δεν είναι έγκυρο , ωραίο ή ενδιαφέρων .Αλλά για να πούμε ότι μια απόδειξη ΄΄αληθεύει΄΄ , μεταφορικά είναι όταν κάποιος απαιτεί να βρει ένα ΄΄αληθινό΄΄ μονοπάτι. Φαίνεται ότι είναι το καλύτερο να απαλλαγούμε εντελώς με την ιδέα της μαθηματικής αλήθειας .(Αυτό δεν έχει σχέση με την τεχνική μαθηματική ιδέα της ΄΄αλήθειας΄΄ με την έννοια του Tarski) .Σπουδαία είναι , επίσης η απαρχαιωμένη Αριστοτελική αρχή των ΄΄αληθινών αξιωμάτων΄΄ .(Σκέψου τις Ευκλείδειες και τις όχι – Ευκλείδειες γεωμετρίες). Μια τέτοια ΄΄όχι – αλήθεια΄΄ άποψη επίσης λύνει την ατέλειωτη παλινδρόμηση , ανακατεμένη με το φανερό ξεχείλισμα αλήθειας από τα αξιώματα στα θεωρήματα , τα οποία ο Lakatos (1962) προσπάθησε πολύ να εξαλείψει από μια αστήρικτη επιστροφή στον εμπειρικισμό .Η δημιουργική δουλειά των μαθηματικών αποτελείται από επινοημένες αρχές και αναπτυσσόμενες μεθόδους , επιτρέποντας το σχεδιασμό μονοπατιών ανάμεσα στις αρχές .Αυτό είναι πως τα μαθηματικά αυξάνουν την ανταπόκριση στα εσωτερικά και εξωτερικά προβλήματα και καταλήγουν σ’ ένα οικοδόμημα το οποίο είναι όμορφο και χρήσιμο ταυτόχρονα .

Αναρτήθηκε από Παναγιώτη Βήχο.

Η εμπειρική φιλοσοφία των μαθηματικών.
Είναι χρήσιμο να αναγνωρίσουμε τους φιλοσόφους των μαθηματικών που βλέπουν τα μαθηματικά σαν μια εμπειρική επιστήμη, ή, όπως γενικότερα θα έλεγα, μια “κουλτούρα”. Ο L.O.Katsoff, π.χ., βλέπει με καλό μάτι την παρατήρηση του Gronseth ότι η λογική είναι η φυσική των αντικειμένων per se. Αυτή η παρατήρηση μπορεί να εφαρμοστεί και στα τυπικά αλλά και στα καθαρά μαθηματικά, ίσως -αν αυτές οι διακρίσεις έχουν ακόμα νόημα. Σύμφωνα με τον Katsoff, ο οποίος επηρεάστηκε από τον Husserl: “Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς ένας όμιλος συμβόλων, αλλά μια ανθρώπινη κατασκευή η οποία έχει θέση στην κοινωνία και η οποία έχει σχέση με εμπειρικά γεγονότα. Γι’ αυτό έχει συντακτικά, ψυχολογικά και επιστημονικά επίπεδα έρευνας” (Katsoff, 1948:253).
Ένα αρκετά παλιό παράδειγμα μαθηματικής εργασίας που να εμφανίζει αναλογίες με την εργασία γενικά, μας δίνει ο de Morgan. Ασχολήθηκε με τη “μαθηματικοποίηση των μαθηματικών”, σαν κάτι αντίστοιχο της επαγγελματοποίησης. Ο Augustus de Morgan ήταν ένας “δορυφόρος” για την Αναλυτική Κοινωνία. Αφιέρωσε τον εαυτό του αντιλαμβανόμενος τη μαθηματική εργασία σαν ένα επάγγελμα. Την ίδια στιγμή, τόνισε τη σημασία ενός συγκεκριμένου μαθηματικού συμβολισμού ως κάτι το οποίο θα προσέφερε καινούργια αποτελέσματα.
Σύμφωνα με τον Mannoury, τα μαθηματικά είναι “ένα φαινόμενο της ζωής” (Lebenenserscheinung). Eξετάζει τα μαθηματικά από τη σκοπιά της “σημαντικής”, δηλαδή “της θεωρίας των πνευματικών σχέσεων που υπάρχουν πίσω από τις ανθρώπινες, προφορικές πράξεις, αλλά ειδικότερα της θεωρίας των επιστημών της γλώσσας, με τη στενότερη έννοια (σημειολογία, ετυμολογία, γλωσσολογία και φιλολογία)” (Katsoff,1948:197). Τα μαθηματικά αποτελούνται από δύο μέρη: τις λέξεις και τα σύμβολα μέσα από τα οποία εκδηλώνονται (τυπικά μαθηματικά) και το “σύστημα των πνευματικών σχέσεων” στο οποίο τα τυπικά μαθηματικά είναι βασισμένα. Σύμφωνα με τον Μannoury:
Μια μαθηματική φόρμουλα, εκτός από απλούς διδακτικούς σκοπούς, εκφράζεται ή καταγράφεται μόνο όταν πρόκειται να εφαρμοστεί σε κάποιο εμπειρικό δεδομένο. Ο σκοπός αυτής της εφαρμογής δεν αποφασίζεται από τη φόρμουλα αλλά από τη σχέση του ατόμου που μιλάει στο αντικείμενο των υπολογισμών του. Η φόρμουλα, ή γενικότερα, τα λιγότερο ή περισσότερο “καθαρά” μαθηματικά, είναι μόνο ο τύπος της εμφάνισης της μετάβασης από το σκοπό στο μέσο (Katsoff,1948:199).
Έπειτα ο Mannoury εξετάζει τη φύση των φυσικών νόμων και των μαθηματικών δηλώσεων από μια “ψυχολογίστικη” σκοπιά. Εδώ, όπως και σε άλλες περιπτώσεις όπου τα ανθρώπινα θεμέλια της επιστήμης ή των μαθηματικών αναγνωρίζονται, η “ψυχολογία” άμεσα αναγνωρίζεται σαν αυτή που εισάγει μια ευρύτερη κοινωνική και πολιτισμική σκοπιά. Υποστηρίζει ότι οι φυσικοί νόμοι δεν μπορούν να έχουν κανένα αντικειμενικό περιεχόμενο υπό καμιά αυστηρή έννοια, δηλαδή ένα περιεχόμενο ανεξάρτητο της ανθρώπινης ζωής. Είναι, τελικά, ψυχολογικοί νόμοι (βάζοντας σε αγκύλες το πρόβλημα των “νόμων”, θα υποστήριζα τον όρο “κοινωνιολογικός” εδώ). Αυτοί οι νόμοι είναι: μόνο και μόνο εκφράσεις για κανονικότητες οι οποίες από τη μια φανερώνονται από τις σχέσεις μεταξύ ενθυμούμενης προσδοκίας και εμπειρίας και από την άλλη, για ανταποκρινόμενες κανονικότητες στις σχέσεις μεταξύ εμπειρίας και προσδοκίας (συναισθηματικό- βουλητικό νόημα του φυσικού νόμου) (Katsoff,1948:200).
Τώρα, ο Mannoury υποστηρίζει ότι υπάρχει μια διάκριση ανάμεσα στην τυπική μαθηματική και την τυπική φυσική γλωσσική ή προφορική πράξη:
Η πνευματική εργασία ακόμα και των πιο απομονωμένων μαθηματικών αποτελείται από γλωσσικές πράξεις. Ως εκ τούτου, μπορεί και πρέπει να εξετασθεί στα ενδεικτικά και συναισθηματικής φύσης στοιχεία της. Είναι προφανές ότι ακόμα και αυτός ο τύπος πνευματικής εργασίας διαμορφώνεται από τις μνημιακές και προσδοκώμενες σχέσεις του, όπως και κάθε άλλος τύπος. Μόνο που εδώ το “εμπειρικό περιεχόμενο” μιας μαθηματικής απόδειξης ή ενός θεωρήματος συνίσταται στη γνώση που είναι προσφιλής και στο συγγραφέα και στον αναγνώστη (Katsoff,1948:202).
Αλλά κατ’ αρχάς έχουμε να κάνουμε με δυο αρένες αναπαραγωγής “εμπειρικού περιεχομένου”, και όχι δυο εκ βάθρων διαφορετικές προφορικές πράξεις. Πράγματι, ακόμα και όταν ο Mannoury προσπαθεί να υπερασπιστεί τη διάκριση ανάμεσα στους φυσικούς και τους μαθηματικούς νόμους, συμπεραίνει ότι “οι φυσικές και προφορικές κανονικότητες επηρεάζουν η μία την άλλη”. Οπότε το 1+1=2 και ο “φυσικός νόμος” της επιμονής είναι άρρηκτα δεμένοι μεταξύ τους” (Katsoff,1948:204). Υπάρχουν και άλλες αναντιστοιχίες στον Mannoury, ή στην ερμηνεία που δίνει ο Katsoff για τον Mannoury. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον Katsoff, o Mannoury “επιβεβαιώνει ότι μπορούμε να μιλάμε φορμαλιστική -τυπική μαθηματική γλώσσα όταν η γλωσσική αντίδραση του ακροατή στην προφορική πράξη του ομιλητή είναι, όσο το δυνατόν, ανεξάρτητη από τα πρόσωπα και από τα φαινόμενα που τη συνοδεύουν” (Katsoff,1948:205).
Αλλά αυτό δεν φαίνεται να είναι σύμφωνο με τις περιληπτικές παρατηρήσεις του Katsoff (1948:206) στις οποίες ο Mannoury φέρεται να ισχυρίζεται ότι “τα μαθηματικά είναι συγγενικά με τις γλωσσικές πράξεις και τις προφορικές μορφές”, ότι η ανάπτυξή τους είναι “σχετική με την ανάπτυξη της ανθρώπινης γλώσσας και σκέψης” και ότι “δεν μπορούν να είναι ανεξάρτητα των ανθρώπων και των επιδιώξεών τους”. Ίσως οι αναντιστοιχίες αντανακλούν την ψυχολογική σκοπιά του Mannoury, ένα προχώρημα για τις καθαρές απόψεις, αλλά και μια απορριπτέα κοινωνιολογική προσέγγιση. Πρέπει, επίσης, να σημειωθεί ότι για τον Mannoury, “η αποφασιστική προς χρήση μέθοδος για να θεωρήσουμε τα θεμέλια των μαθηματικών είναι η εμπειρική και η ψυχολογική μέθοδος. Οπότε η συγκεκριμένη ή ψυχογλωσσική έρευνα πρέπει να επιφέρει αξιωματικές έρευνες” (Katsoff,1948:206). Αυτή η θεώρηση της “σειράς αναλύσεων” είναι ακόμα ένα πιθανό στοιχείο για τις αναντιστοιχίες στην προσέγγιση του Mannoury.
Δεδομένων όσων είπαμε πρωτύτερα στο κεφάλαιο αυτό, μπορούμε να δούμε γιατί δεν είναι μια απλή υπόθεση το να υποστηρίξουμε (όπως κάνει ο Κörner [1926:174]) ότι οι βάσεις για τα “εδώ υπάρχει ένα κομμάτι χαλκού” και “εδώ υπάρχει ένα Ευκλείδειο σημείο” είναι “αρκετά διαφορετικά”. Πράγματι, αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτού που αλλού ονομάζω “η πλάνη της ασύμμετρης αναλογίας”. Απ’ την άλλη μεριά, η δήλωση του χαλκού έχει τις ρίζες της σε μια πρωτόγονη σχέση με κάποιο αντικείμενο του φυσικού κόσμου του Κörner. Αυτό αγνοεί την ιστορική ανάπτυξη της σύλληψης του χαλκού και τη σπανιότητα της αφηρημένης ιδέας “χαλκός” στην π.χ. μεταλλουργία. Από την άλλη, η σύλληψη ενός Ευκλείδειου σημείου είναι το τρέχον αποκορύφωμα μιας αφηρημένης διαδικασίας η οποία ξεκινά με δηλώσεις στο επίπεδο του Πρώτου Κόσμου της δήλωσης του χαλκού.

Αναρτήθηκε από Παναγιώτη Βήχο.

Τα αφηρημένα μαθηματικά.

Νωρίτερα, ανέφερα την αποκρυσταλλοποίηση των αφηρημένων Μαθηματικών στα πανεπιστήμια και τις ακαδημίες της κεντρικής Ευρώπης. Θέλω τώρα να εξετάσω τις ιδέες και την συμβολή μερικών από τους κυριότερους συνεισφέροντες στα σύγχρονα αφηρημένα Μαθηματικά κατά τη διάρκεια της περιόδου της αποκρυσταλλοποίησής τους. Οι αρχές της σύγχρονης μετάβασης από τα Μαθηματικά της επιβίωσης στα αφηρημένα Μαθηματικά μπορούν ήδη να φανούν γραφικά στις μαθηματικές εργασίες του Isaac Newton.Στις προτάσεις 35-41 του βιβλίου Principia βρίσκουμε διαγράμματα στα οποία η αριστερή πλευρά αντιπροσωπεύει την φυσική περιγραφή μιας πραγματικής πλανητικής τροχιάς, ενώ η δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύει τα αποτελέσματα μαθηματικών χειρισμών και συλλογισμών. Αυτού του είδους τα διαγράμματα (τα οποία μου επισημάνθηκαν από τον Michael Mahoney του πανεπιστημίου του Princeton) βρίσκονται μεταξύ της κλασσικής γεωμετρικής αναπαράστασης της φυσικής πραγματικότητας και τα χωρίς διαγράμματα έργα του Lagrange.Η αναλυτική επέκταση του Varignon στα Νευτώνια μαθηματικά άνοιξε το δρόμο για την αναλυτική λεπτολογία των Euler και Lagrange.
Ο Gauss επίσης προχώρησε πιο πέρα από τα Μαθηματικά της επιβίωσης. Αλλά ποτέ δεν πέρασε ολοκληρωτικά το κατώφλι των αφηρημένων Μαθηματικών. Ο μαθηματικός που του άρεσε να θεωρεί τον εαυτό του ως ταυτόχρονα “τον πιο εκλεπτυσμένο γεωμέτρη” και “τον πιο αγνό αστρονόμο” εργάστηκε μεταξύ των “μαγνητικών πόλων” των αφηρημένων Μαθηματικών και της Αστρονομίας (Dunnington, 1955:113).
Ο Νewton και ο Gauss εργάστηκαν στην διαχωριστική γραμμή. Η σύγκρουση μεταξύ αφηρημένων και εφαρμοσμένων Μαθηματικών στη σύγχρονη μορφή ξεκινά από την δεκαετία του 1860.Ο δέκατος έβδομος αιώνας γίνεται μάρτυρας της αρχής του τέλους των ερασιτεχνικών Μαθηματικών. Την εποχή αυτή τέθηκε εντονότατα το ζήτημα αν τα Μαθηματικά θα ανταποκρίνονται αποκλειστικά και μόνο στα προβλήματα της καθημερινής ζωής ή θα αποκτήσουν μια γενικότερη και πιο αφηρημένη έννοια. Ίσως το γεγονός ότι η σύγκρουση ανάμεσα στα αφηρημένα και τα εφαρμοσμένα Μαθηματικά παρουσιάστηκε αυτήν ακριβώς τη χρονική στιγμή έχει τις ρίζες του στην Βιομηχανική Επανάσταση και τις βαθύτατες αλλαγές που αυτή έφερε σε κοινωνιολογικό και επιστημονικό επίπεδο. Μεταξύ 1485 και 1715 ο ρόλος του πρακτικού μαθηματικού, προάγγελος του επαγγελματία μαθηματικού, σταθεροποιήθηκε (Taylor, 1954).
Η δουλειά του Newton βοήθησε στη σφυρηλάτηση μιας νέας στάσης σχετικά με τη σημασία των Μαθηματικών και την ανάγκη της προβολής της ως ένα δημιουργικό πεδίο μελέτης. Η διδασκαλία, όπως έχουμε δει στη θεωρία και στην πράξη, διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στη γέννηση των αφηρημένων, επαγγελματικοποιημένων Μαθηματικών. Μεταξύ του 1695 και του 1714 στην Αγγλία, η πρακτική γεωμετρία και η Αστρονομία εισήχθησαν ως κανονικά μέρη του σχολικού προγράμματος. Η είσοδος των Μαθηματικών στο σχολικό πρόγραμμα τα έφερε σε επαφή με πλατύτερα κοινωνικά στρώματα, τα οποία ενδιαφέρθηκαν για τη μελέτη τους και την σε βάθος κατανόησή τους. Δημιουργήθηκε έτσι η ανάγκη για την ύπαρξη επαγγελματιών μαθηματικών που θα μετέδιδαν τις μαθηματικές γνώσεις σε αυτά τα στρώματα και θα προωθούσαν την περαιτέρω καλλιέργειά τους. Χοντρικά, αυτή ήταν μια περίοδος κατά την οποία οι δάσκαλοι εργάζονταν κάτω από συνθήκες συγκρινόμενες με αυτές στις οποίες δούλευαν οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι γραφείς. Στους μαθητές δίνονταν προβλήματα πάνω στη ναυτιλία, τις οχυρώσεις κλπ. (εφαρμοσμένα Μαθηματικά στη μορφή), αλλά τα προβλήματα ήταν τελείως ξεκομμένα από την “πραγματικότητα” και από την πρακτική εφαρμογή (αφηρημένα Μαθηματικά στην ουσία).
Ο Boole είναι ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που αντιμετώπισε τις μαθηματικές πράξεις ως οντότητες. Στα 1844, ο Boole επιχειρηματολογούσε ότι τα Μαθηματικά είναι στην ουσία η μελέτη της μορφής και της δομής και ότι τα “αφηρημένα Μαθηματικά” ασχολούνται με τους νόμους των συνδυασμών συμβόλων ή “τελεστών” (με την ευρεία έννοια). Αναπόφευκτα, ο Boole οδηγήθηκε να ερευνήσει για “νόμους της σκέψης” που ήταν ανεξάρτητοι από τον καθημερινό αισθητήριο κόσμο. Ο Frege επίσης έψαξε να “αποκλείσει με σιγουριά όλα όσα προήλθαν από άλλες πηγές γνώσης (διαίσθηση, αισθητική εμπειρία)” και αυτό τον οδήγησε στο να προσπαθήσει να βασίσει την αριθμητική μόνο στη λογική. Μέχρι τότε τα Μαθηματικά στηρίζονταν σε μεγάλο βαθμό στη διαίσθηση και την παρατήρηση. Την εποχή εκείνη όμως έγινε μια προσπάθεια για τη θεμελίωση των Μαθηματικών σε λιγότερο εμπειρικές και πιο θεωρητικές βάσεις. Αυτός ισχυρίστηκε ότι ο συλλογισμός προϋποθέτει σκέψεις κατανόησης που ήταν ήδη αντικειμενικά παρούσες.
Πολλοί μαθηματικοί ενδιαφέρονται για τη γλώσσα. Αλλά οι μεγάλοι συνεισφέροντες στην ακραία κάθαρση των Μαθηματικών και της Λογικής δείχνουν ένα εξίσου ακραίο και πρώιμο ενδιαφέρον και ικανότητα στο χειρισμό της γλώσσας. Ο πατέρας αυτής της πλευράς της μαθηματικής εργασίας είναι ο Leibniz, του οποίου το πρόγραμμα για μια παγκόσμια γλώσσα αποτελεί την έμπνευση για τους περισσότερους, αν όχι για όλους τους μεγάλους εξαγνιστές. Ο άλλος τους μεγάλος ήρωας είναι φυσικά ο Αριστοτέλης, εξ αιτίας της συνεισφοράς του στη Λογική. Οι Boole και Hamilton για παράδειγμα, ήταν εξαιρετικοί γνώστες των γλωσσών και του κλασικισμού. Ίσως είναι αυτή η πρώιμη έκθεση στους κλασσικούς και στις γλώσσες που προδιαθέτει κάποιον να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά με έναν άκρως δομημένο και πολύ αφαιρετικό τρόπο. Άνθρωποι όπως οι Boole και Hamilton μπορούν να μάθουν τα Μαθηματικά σαν μια γλώσσα με την οποία μπορείς να παίξεις με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο παίζεις μαζί της στην ποίηση. Και πράγματι, ένα ενδιαφέρον για την ποίηση, αν όχι μια ικανότητα για διάκριση σ’ αυτή, δεν είναι καθόλου ασυνήθιστο μεταξύ αυτών των ανθρώπων. Θέλω να τονίσω ότι αυτές οι ικανότητες και οι προδιαθέσεις είναι λειτουργίες που ενισχύονται από την κοινωνική θέση.
Ο Boole και ο Hamilton βλέπουν τα αφηρημένα Μαθηματικά ως μια καθαρά διανοητική διαδικασία, περιορισμένη αποκλειστικά στην αιτία. Ας δούμε αυτή την άποψη και ας εξετάσουμε πώς μπορούμε εμείς να εξηγήσουμε κοινωνιολογικά την ατομική εμπειρία της αφαίρεσης. Έπειτα θα δείξω πώς αυτή η εμπειρία μεταφράζεται σε μια πολιτική αφηρημένων Μαθηματικών στο κοινωνικό επίπεδο της ανάλυσης.
Όπως οι Boole και Hamilton στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης των Μαθηματικών ως επάγγελμα, αργότερα ο Poincare εξέφρασε τις απόψεις για μια ταχέως επαγγελματικοποιημένη μαθηματική κοινότητα, όσον αφορά τη μαθηματική δραστηριότητα. Για τον Poincare τα Μαθηματικά είναι μια δραστηριότητα του μυαλού, η οποία παίρνει τα λιγότερα από τον έξω κόσμο από κάθε άλλη ανθρώπινη δραστηριότητα. Παρόλα αυτά, δεν θα έπρεπε να ξεχνάμε ότι τα Μαθηματικά, όπως και όλες οι θετικές επιστήμες, ξεκίνησαν από την ανάγκη ερμηνείας, κατανόησης και επίλυσης των καθημερινών πρακτικών προβλημάτων. Η σκέψη σε αυτή την περίπτωση “λειτουργεί ή φαίνεται να λειτουργεί από μόνη της και μόνο για αυτή…”. Εισηγείται λοιπόν ότι “μελετώντας τη διαδικασία της γεωμετρικής σκέψης μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα φτάσουμε το πιο ουσιώδες της ανθρώπινης σκέψης”.

Ο λογικός θετικισμός.

1. Εισαγωγή

Ο Θετικισμός κυριάρχησε στην πνευματική ζωή του 19ου αιώνα και προσδιόρισε τη φυσιογνωμία της επιστήμης αυτής της περιόδου. Σύμφωνα με τη βασική του παραδοχή, η επιστημονική γνώση έχει τη βάση της στα άμεσα παρατηριασιακά δεδομένα. Η ερμηνεία της πραγματικότητας ακολουθεί πορεία από το μερικό στο γενικό και όχι αντίστροφα.
Ο θετικισμός μετασχηματίστηκε στη συνέχεια (μετά τον Α΄ Παγκόσμιο Πόλεμο) σε λογικό θετικισμό, δηλαδή σε μια λογική εκδοχή του εμπειρισμού. Στο πλαίσιο της νέας αυτής θεώρησης, σημασία δεν έχει μόνο αν μια θεωρητική πρόταση μπορεί να αποδειχθεί πειραματικά κατά πόσο είναι αληθής ή όχι, αλλά αν η πρόταση αυτή έχει νόημα. Μια θεωρητική πρόταση έχει τότε μόνο νόημα, αν οι ισχυρισμοί της είναι λογικοί και, προπάντων, αν γνωρίζουμε πώς να την επαληθεύσουμε με τα αισθητηριακά δεδομένα που διαθέτουμε.
Σύμφωνα με τους λογικούς θετικιστές, η γνώση δομείται με τη γλώσσα και για το λόγο αυτό, ανάλυση της γνώσης σημαίνει πρωτίστως ανάλυση της γλώσσας. Η θέση αυτή οδήγησε στη λεγόμενη γλωσσική στροφή στη φιλοσοφία και την εδραίωση του κλάδου που είναι γνωστός ως αναλυτική φιλοσοφία.

Λίγο πριν, αλλά και μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο μια σειρά από νέες θεωρητικές διατυπώσεις στη φυσική επιστήμη προκάλεσαν σημαντική ρωγμή στα θεμέλια του λογικού θετικισμού. Η επαγωγική μέθοδος ως μεθοδολογικό εργαλείο ερμηνείας της πραγματικότητας και συγκρότησης της γνώσης αμφισβητήθηκε και η επιστημονικότητα μιας θεωρίας άρχισε να αποσυνδέεται από την εμπειρική επαλήθευσή της. Το ενδιαφέρον μετατοπίσθηκε από την επιβεβαίωση της αλήθειας στην ανακάλυψη «ριζικά νέας και πιο ενδιαφέρουσας αλήθειας» (Popper).
Στο πλαίσιο αυτής της αμφισβήτησης και της νέας αντίληψης για την επιστήμη και τη συγκρότηση της γνώσης, αυτό που άσκησε βαθύτατη επιρροή στην επιστημονική σκέψη προς το τέλος της δεκαετίας του 1960 είναι η σκέψη του Thomas Kuhn και η θεώρηση της επιστήμης ως ιστορικού φαινομένου. Η επιστήμη και ειδικότερα η επιστημονική γνώση δεν γίνεται πλέον αντιληπτή ως απόσταγμα της εμπειρίας ή ως ταξινόμηση και κωδικοποίηση παρατηριασιακών δεδομένων, αλλά ως ένα πλέγμα κοινωνικών φαινομένων, συναρτημένο από τη γενικότερη κοινωνική πραγματικότητα.

2. Λογικός Θετικισμός

ΜΟ Λογικός Θετικισμός συγκροτήθηκε ως δέσμη ερευνητικών προγραμμάτων (έρευνες της λογικής των μαθηματικών και της υφής των επιστημονικών συστημάτων) με τον «Κύκλο της Βιέννης». Πρόκειται για κύκλο φιλοσόφων με σύντομη διάρκεια ζωής (μέχρι την άνοδο του Ναζισμού στην εξουσία), αλλά με σημαντική επιρροή στη φιλοσοφική σκέψη στις δεκαετίες που ακολούθησαν. Τα περισσότερα από τα μέλη του Κύκλου αυτού (Schlick, Carnap, Feigl, Gοdel, Neurath, Frank, Ράιχενμπαχ κ.ά.) ήταν μαθηματικά παιδευμένα, γεγονός που ενίσχυε την τάση για λογική αυστηρότητα και καθαρότητα στην προσέγγιση της πραγματικότητας και στη διατύπωση θεωρητικών προτάσεων.
Η λογική, στο πλαίσιο του Κύκλου της Βιέννης, γνώρισε μια αναδόμηση του περιεχομένου της και μια επέκταση που την οδήγησαν πέραν από τα όρια της παραδοσιακής λογικής, σε εντελώς νέους τομείς. Συνδέθηκε με τα μαθηματικά από τα οποία δανείστηκε τα σύμβολα για την αναπαράσταση σχέσεων. Από την άλλη πλευρά, και οι μαθηματικές προτάσεις θεωρήθηκε ότι εκφράζουν σχέσεις και με την έννοια αυτή δεν μπορούν να ενταχθούν στα σχήματα κρίσης της παραδοσιακής λογικής (Κράφτ, 1986 : 27).
Οι μαθηματικές προτάσεις είναι προτάσεις αναλυτικές και όχι συνθετικές, όπως φρονούσε η παραδοσιακή φιλοσοφία. Από τον αναλυτικό τους χαρακτήρα εξηγείται η ισχύς τους a priori. Αυτό σημαίνει πως δεν χρειάζεται να αναζητάμε κάποιον λόγο ισχύος για τέτοιες προτάσεις. Από την άλλη πλευρά, και η ισχύς της λογικής είναι ανεξάρτητη, γιατί η λογική δεν παρέχει τους βασικούς νόμους του κόσμου, αλλά σκέψεις για τον κόσμο. Οι συλλογισμοί αυτοί δείχνουν ότι τα μαθηματικά και η λογική είναι ανεξάρτητα απέναντι στην εμπειρία. Με τον τρόπο αυτό ο παραδοσιακός εμπειρισμός γνωρίζει μια διόρθωση : παραιτείται από την απαίτηση να παράγεται κάθε γνώση και επιστήμη από την εμπειρία.
Στον Κύκλο της Βιέννης η νέα λογική είχε αναπτυχθεί με σκοπό τη θεωρητική οικοδόμηση των μαθηματικών, έγινε όμως το μέσο για την επιστημολογία γενικά. Η μέθοδος της φιλοσοφικής έρευνας ορίσθηκε ως εφαρμοσμένη λογική, σε αντιδιαστολή με την καθαρή λογική (Κράφτ, 1986 : 35-36).
Τον Κύκλο της Βιέννης απασχολούσαν δύο κατηγορίες προβλημάτων : Η ανάλυση της γνώσης και οι θεωρητικές βάσεις κυρίως των μαθηματικών, αλλά και των άλλων «θεωρητικών» επιστημών και φυσικά της φιλοσοφίας. Η γνώση αναλύθηκε ως προς τη λογική της δομή, δηλαδή ως προς τον τρόπο που σχετίζονται οι έννοιες και οι προτάσεις μεταξύ τους, καθώς και ως προς τον τρόπο που αυτές οι συσχετίσεις παράγουν νόημα.
Η γνώση παριστάνεται με γλωσσικές διατυπώσεις και με την έννοια αυτή η γλώσσα σχηματίζει το σώμα της γνώσης, δηλαδή μόνο με τη βοήθειά της μπορεί να οικοδομηθεί γνώση. Συνεπώς, ανάλυση της γνώσης σημαίνει πρωτίστως ανάλυση της γλώσσας, η οποία τη συγκροτεί.
Από τον Κύκλο της Βιέννης προήλθε ένα μεγάλο διεθνές φιλοσοφικό κίνημα : ο λογικός θετικισμός και η αναλυτική φιλοσοφία. Το κίνημα χαρακτηρίστηκε ως πνευματική επανάσταση στη φιλοσοφία. Και οι δύο τάσεις του κινήματος αυτού συνδέονται με τις βασικές απόψεις του Κύκλου της Βιέννης και έχουν ως κοινό στόχο τη λογική ανάλυση των θεωρητικών προτάσεων και την αναμόρφωση του εμπειρισμού (Κράφτ, 1986 : 194).
Το νέο στοιχείο που εισάγει στη φιλοσοφία και τη μεθοδολογία της ο λογικός θετικισμός είναι ότι μετατοπίζει την προβληματική από την έννοια της αλήθειας σε εκείνη του νοήματος (Βαλλιάνος, 2001 : 134). Από επιστημολογική άποψη το φιλοσοφικό αυτό ρεύμα είναι ένας εμπειρισμός, ο οποίος όμως χρησιμοποιεί ένα περίπλοκο τεχνικό σύστημα λογικής ανάλυσης των επιστημονικών όρων. Η διερεύνηση της επιστημονικής γνώσης ως προς τη λογική της δομή αποτελεί την εφαρμοσμένη λογική, σε αντιδιαστολή με την καθαρή λογική.
Αυτή η μέθοδος φιλοσοφικής έρευνας και ειδικότερα η λογική ανάλυση της επιστημονικής γλώσσας, ήταν η κύρια συνεισφορά του λογικού θετικισμού στην επιστημονική έρευνα και στην εδραίωση του φιλοσοφικού ρεύματος που έγινε γνωστό ως «γλωσσική στροφή» στη φιλοσοφία, ή «αναλυτική φιλοσοφία», η οποία συνίσταται σε μέθοδο διερεύνησης του νοήματος των θεωρητικών προτάσεων.
Σύμφωνα με τις βασικές θέσεις του ρεύματος αυτού, η πραγματικότητα γίνεται αντιληπτή ως ένα σύμπλεγμα γεγονότων, το οποίο μπορεί να αναλυθεί σε επιμέρους, ώσπου να βρεθούν τα έσχατα, ατομικά γεγονότα. Το σύμπλεγμα αυτό έχει απόλυτη αντιστοίχιση με ένα άλλο σύμπλεγμα, εκείνο της γλώσσας. Η γλώσσα έχει νόημα επειδή μεταξύ αυτής και του κόσμου υπάρχει αντιστοιχία σε όλα τα επίπεδα, σε όλα τα επιμέρους στοιχεία (Κράφτ, 1986, σ.120 επ.).
Κατά τον λογικό θετικισμό η αυθεντικά επιστημονική φιλοσοφία είναι εφικτή μόνον ως λογική ανάλυση της γλώσσας της επιστήμης, που επιδιώκει την «κάθαρση» της επιστήμης από κάθε «μεταφυσική» (από το σύνολο του παραδοσιακού φιλοσοφικού προβληματισμού) και τη μελέτη της λογικής δομής της επιστημονικής γνώσης. Η φιλοσοφία ανάγεται σε «λογική της επιστήμης», σε «λογική σύνταξη της γλώσσας της επιστήμης» (Carnap).
Θεωρητικές προτάσεις έχουν νόημα, μόνο όταν είναι αναλυτικές, δηλαδή εμπειρικά επιβεβαιώσιμες ή ταυτολογίες (π.χ. «ένα άσπρο αυτοκίνητο είναι άσπρο»). Οι ταυτολογίες είναι κατ΄ ανάγκην αληθείς, αλλά δεν μας δίνουν νέες πληροφορίες. Αντίθετα, οι εμπειρικά επιβεβαιώσιμες προτάσεις μας δίνουν πληροφορίες και νέα γνώση(Κράφτ 1986, σ. 120 επ.).
Όλες οι άλλες προτάσεις που δεν εμπίπτουν σε αυτές τις κατηγορίες είναι χωρίς νόημα. Με την έννοια αυτή ό,τι κινείται στη σφαίρα του μεταφυσικού, δεν έχει γνωστική σημασία, στερείται νοήματος (Carnap, 1993). Μια ειδική κατηγορία προτάσεων και θεωριών αποτελούν εκείνες της ηθικής φιλοσοφίας, οι οποίες δεν είναι ούτε ψευδείς ούτε αληθείς, επειδή δεν περιγράφουν αντικειμενικά ή εμπειρικά γεγονότα. Δηλαδή, γνώση παράγεται μόνο από προτάσεις με λογική εσωτερική δομή, οι οποίες μπορούν να ελεγχθούν εμπειρικά. Με τις θέσεις αυτές ο λογικός θετικισμός δεν διαφοροποιείται μόνο απέναντι στον κλασσικό θετικισμό, αλλά αντιπαρατίθεται και στα ολοκληρωτικά ιδεολογικά συστήματα της εποχής.
Στην ώριμή του μορφή, ο λογικός θετικισμός αναγνωρίζει ότι η γλώσσα της επιστήμης αποτελείται από δύο ειδών όρους : από παρατηρισιακούς και θεωρητικούς (Βαλλιάνος, 2001 : 137). Οι παρατηρισιακοί όροι είναι αυτοί που παράγονται από την εμπειρική παρατήρηση, ενώ οι θεωρητικοί είναι αφηρημένες έννοιες, οι οποίες δεν μπορούν να υποβληθούν σε πειραματική δοκιμασία, είναι όμως απαραίτητοι για να ολοκληρωθεί η λογική δομή της θεωρίας.
Με την έννοια αυτή, ο λογικός θετικισμός έχει επίγνωση ότι η θεωρία είναι κάτι περισσότερο από το εκάστοτε διαθέσιμο σώμα παρατηρήσεων. Αυτό με τη σειρά του φανερώνει ότι η επιστήμη δεν μπορεί να κινείται μόνο επαγωγικά, αλλά καιαπαγωγικά. Ο ερευνητής χρειάζεται να έχει μια καθοδηγητική ιδέα, μια υπόθεση εργασίας, για να ξεκινήσει τη μελέτη των φαινομένων. Αυτή η υπόθεση εργασίας δεν είναι μια αυθαίρετη σκέψη και φαντασίωση του ερευνητή, αλλά προκύπτει από υπάρχουσες θεωρίες και πειραματικά θεμελιωμένων εξηγήσεων.
Από αυτό συνάγεται ότι η απαγωγική δομή των θεωριών είναι σημαντικό προαπαιτούμενο για την πειραματική διαδικασία. Η προβληματική αυτή, η οποία εκφράζεται στο υποθετικό-απαγωγικό μοντέλο του Hempel, αναγνωρίζει μια σχετική αυτονομία στη θεωρία και με την έννοια αυτή θέτει φραγμούς στον αυστηρό επαγωγισμό του Μπέικον και του Μιλλ (Βαλλιάνος, 2001 : 139). Η διαφοροποίηση αυτή θα αναδείξει τα εσωτερικά προβλήματα του λογικού θετικισμού και στη συνέχεια τα όριά του.
Παρά το σημαντικό του έργο και συνεισφορά στην επιστήμη, ο λογικός θετικισμός δεν κατόρθωσε να απαντήσει στο πρόβλημα που είχε απασχολήσει και την παραδοσιακή φιλοσοφία, εναντίον της οποίας, ουσιαστικά, βάλλει : τη σχέση ανάμεσα στις λογικές και γνωστικές δυνάμεις του ανθρώπου και στο πρόβλημα με το οποίο καταπιάνεται (Βαλλιάνος, 2001 : 140).
Η θεωρία του νοήματος και της εμπειρικής επαληθευσιμότητας των προτάσεων (Σατελέ, 1990 : 79 επ.), στην οποία στηρίχθηκε ο λογικός θετικισμός, υποβάθμισε εκείνη την πλευρά του φιλοσοφικού στοχασμού που δεν μπορεί να συσχετισθεί με τα αισθητηριακά δεδομένα και ουσιαστικά ακύρωνε ολόκληρο το οικοδόμημα της παραδοσιακής φιλοσοφίας, φέρνοντας στο τέλος σε αδιέξοδο και τον ίδιο. Το αδιέξοδο αυτό και γενικότερα οι δυσκολίες του λογικού θετικισμού άνοιξαν νέους δρόμους στη φιλοσοφία και την οδήγησαν στην αναζήτηση ερμηνείας έξω από τις βασικές παραδοχές της παραδοσιακής φιλοσοφίας και του θετικισμού (με οποιαδήποτε μορφή του). Τέτοιοι δρόμοι ήταν οι θεωρητικές συλλήψεις του Κ. Popper (θεωρία της διαψευσιμότητας) και του Th. Kuhn (θεωρία των παραδειγμάτων).

EΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΘΕΟΛΟΓΙΑ.

Η θεολογία, ως φαινόμενο δεν απαντά στο «πώς» (δημιουργήθηκε ο κόσμος), αλλά στο «ποιός»(έφτιαξε τον κόσμο). Η επιστήμη αντίθετα ενδιαφέρεται για το «πώς»,  αδυνατώντας να απαντήσει στο «ποιός». Θεολογία και επιστήμη δεν πρέπει να έχουν κοινά σημεία, αλλά ούτε και διαφορές.
Η πίστη είναι απαραίτητη τόσο στην Επιστήμη όσο και τη Θρησκεία. Οι περισσότεροι επιστήμονες παραδέχονται σήμερα ότι οποιαδήποτε θεώρηση του κόσμου προϋποθέτε ένα αρχικό άρθρο πίστης πίσω από το οποίο θα αναπτυχθεί και με το οποίο θα δεθεί μια εσωτερική λογική. Ο Michael Polanyi, στο βιβλίο του «Personal Knowledge» υποστηρίζει ότι η πίστη είναι η πηγή κάθε γνώσης και ισχυρίζεται ότι τα βασικά μας πιστεύω σε οποιονδήποτε τομέα της ζωής, συμπεριλαμβανομένου και του επιστημονικού, είναι αναμφισβήτητα, μόνο υπό την έννοια ότι πιστεύουμε πως πράγματι είναι έτσι. Ο Polanyi παραδέχεται πως «η αλήθεια είναι κάτι που μπορεί να γίνει αντιληπτή μόνο πιστεύοντάς την» και δεν έχει καμιά αμφιβολία ότι «όλα τα βασικά πιστεύω μας και στον επιστημονικό τομέα είναι αναπόδεικτα». Η επιστημονική θεωρία π.χ. της προέλευσης του κόσμου από μια μεγάλη έκρηξη, το Big Bang, ξεκινά από την υπόθεση, την πίστη, ότι υπήρξε η μεγάλη έκρηξη. Χωρίς τη βασική πίστη ότι υπήρξε η μεγάλη έκρηξη το όλο οικοδόμημα που κτίζουν οι επιστήμονες θα κατέρρεε. Οι επιστήμονες, βέβαια, δεν χρησιμοποιούν το ρήμα «πιστεύω»όπως κάνουν οι θρησκευόμενοι άνθρωποι. Οι επιστημονικές υποθέσεις τους ωστόσο φαίνονται να ’ναι διακηρύξεις πίστεως.»

Δεν μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός 6 είναι τέλειος επειδή ο Θεός ολοκλήρωσε το έργο του σε έξι μέρες, αλλά ότι ο Θεός ολοκλήρωσε το έργο του σε έξι μέρες επειδή ο αριθμός 6 είναι τέλειος.Πράγματι ακόμη κι αν δεν υπήρχαν τα έργα Του , αυτός ο αριθμός θα εξακολουθούσε να είναι τέλειος.

                                                          Ιερός Αυγουστίνος

Ένας από τους δραματικότερους τρόπους με τους οποίους επηρεάζονταν οι μαθηματικοί από τις θρησκευτικές μεταβολές ήταν η δολοφονία της Αλεξανδρινής μαθηματικού Υπατίας , η οποία δίδασκε μαθηματικά και φιλοσοφία. Λυντσαρίστηκε από τον φανατισμένο χριστιανικό όχλο το 425 μ.Χ για λόγους που πιθανόν είχαν σχέση με το γεγονός ότι ήταν μια πολύ μορφωμένη και πολιτικοποιημένη παγανίστρια.

Ο χριστιανισμός χρειαζόταν μερικές μαθηματικές πρακτικές.: η καθημερινή προσευχή σε μοναστικές κοινότητες ήταν αυστηρά καθορισμένη και έπρεπε να αρχίζει μια συγκεκριμένη στιγμή και να διαρκεί ορισμένες ώρες. Επίσης το Πάσχα εορταζόταν σε διαφορετική ημερομηνία και εκείνη η ημέρα έπρεπε να προσδιορίζεται με ακρίβεια. Συνεπώς οι χρισταιανοί συγγραφείς ενδιαφερόταν για την ακριβή μέτρηση του χρόνου με αστρονομικές παρατηρήσεις και όργανα.Ένας άλλος τομέας που συναντιόταν τα μαθηματικά με τη χριστιανική πίστη ήταν η κατανόηση του Θεού και η δημιουργία Του. Ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ανέλυσε την έννοια διαφόρων αριθμών που συναντάμε στη Βίβλο : επτά μέρες δημιουργίας , οι σαράντα μέρες του κατακλυσμού , οι δώδεκα φυλές του Ισραήλ. Εμπνεόμενοι από τον πλατωνισμό του Φίλωνα αρκετοί χριστιανοί ερμηνευτές ασκούσαν την ίδια ερμηνευτική με τη συνδρομή φράσεων από την Αγία Γραφή , όπως «Τα πάντα εποίησας με μέτρο , αριθμό και βάρος» (Βιβλίο της Σοφίας 11, 21). Επιπλέον τα μαθηματικά παρείχαν έναν τύπο λογικής που ήταν βέβαιος και αναμφισβήτητος , ενώ ταυτόχρονα δεν στηριζόταν αποκλειστικά στις αισθήσεις αλλά ήταν κάτι αφηρημένο. Τέλος τα μαθηματικά ήταν βασικό στοιχείο της εκπαίδευσης των μη χρισστιανικών εκπαιδευτικών συστημάτων από τα οποία όμως είχαν περάσει όλοι σχεδόν οι μορφωμένοι χριστιανοί.


Ο πατριάρχης  Κλήμης ο Αλεξανδρείας αποφαίνεται ότι η αστρονομία και η γεωμετρία θεωρούνται ανώφελες  και δεν διδάσκουν την πραγματική αλήθεια. Από την άλλη μεριά εκτιμά ορισμένους μαθηματικούς της αρχαίας εποχής όπως τον Πλάτωνα και τον Πυθαγόρα. Επιπλέον θεωρεί ότι τα μαθηματικά εκπροσωπούν την τάξη και την αρμονία της δημιουργίας του Θεού.Ισχυρίζεται ότι ο Μωυσής μελέτησε αριθμητική και γεωμετρία θεωρώντας ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα για την καθοδήγηση των ψυχών σε ανώτερες πνευματικές πραγματικότητες. Ο Κλήμης δηλώνει κατηγορηματικά ότι ο Θεός κατέχει μαθηματικές γνώσεις συνεχίζοντας την πλατωνική άποψη ότι : «Ο Θεός αεί γεωμετρεί». Θεωρεί επίσης ότι τα μαθηματικά και η πίστη αρχίζουν αμφότερες από άδηλες βασικές έννοιες τα δόγματα για την πίστη , τα αξιώματα για τα μαθηματικά. Συνεχίζουν όμως σε παράλληλους δρόμους και γι’ αυτό δεν συγκρούονται. Ασχολείται επίσης με την αριθμολογία . Εγκαινιάζει λοιπόν μια διαλεκτική μεταξύ επιστήμης και θεολογίας.


 Γενικά η ανατολική παράδοση της Ορθοδόξου πίστης δεν διαβλέπει σύγκρουση ή αντιπαλότητα μεταξύ των μαθηματικών και του χριστιανισμού. Η θεωρία των παράλληλων δρόμων που διατύπωσε όπως είδαμε πρωτύτερα ο Κλήμης είναι χαρακτηριστική στην σχέση αυτή. Χρησιμοποιεί τα μαθηματικά μόνο όσο εξυπηρετεί τη μελέτη και διάδοση των θείων αληθειών. Αδιαφορεί ίσως για περισσότερες μαθηματικές ενασχολήσεις θεωρώντας την μαθηματική γνώση κατώτερη από τη γνώση του Θεού.


Ο ιερός Αυγουστίνος χρησιμοποιεί περισσότερα μαθηματικά στοιχεία στο έργο του. Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά χρονολογείται από τη νεανική του ηλικία διότι ως παιδί έπρεπε να απαγγέλει ρυθμικά τους μαθηματικούς πίνακες που διδασκόταν. Αργότερα μετείχε σε πιο φιλελεύθερη παιδεία που περιλάμβανε τη μουσική και την αριθμητική. Οταν ο Αυγουστίνος έγινε χριστιανός αντί να απορρίψει τα μαθηματικά τα έθεσε στην υπηρεσία του Χριστιανισμού. Διέβλεπε ότι οι μαθηματικές έννοιες είναι αφηρημένες και δεν συνδεόταν με κάποιο υλικό αντικείμενο. Έτσι ήταν κατάλληλες για την προώθηση των χριστιανικών πνευματικών αληθειών.
Το ενδιαφέρον του Αυγουστίνου ήταν αν η ψυχή μπορούσε να εκφραστεί με ένα αριθμό ή με ένα γεωμετρικό αντικείμενο. Επίσης μέσω των αριθμών, για παράδειγμα εκείνων που περιλαμβάνονταν στο ρυθμό και στη μουσική , μπορούν οι άνθρωποι να πλησιάσουν το Θεό επειδή οι αριθμοί είναι ωραίοι , τακτοποιημένοι  , ισορροπημένοι και εμπνέουν θαυμασμό και αγάπη. Αυτή η αγάπη μπορεί να επεκταθεί στον δημιουργό των πραγμάτων εντός των οποίων πειλαμβάνονται και οι αριθμοί. Στο έργο του Μονόλογοι που είναι από τα πρώτα του αρχίζει διάλογο σχετικά με τη σχέση της γνώσης του Θεού και άλλων ειδών γνώσης , όπως η μαθηματική γνώση. Συνέκρινε συχνά το είδος βεβαιότητας από τις μαθηματικές αλήθειες  με τη βεβαιότητα που θα έπρεπε να εμπνέει η πίστη. Η ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων τού προσέφερε πολεμοφόδια για να αποκρούσει τις επιθέσεις των σκεπτικιστών κατά της ψυχής. Για παράδειγμα στο Περί ποσότητας της ψυχής , ισχυριζόταν ότι η κατανόηση της ψυχής μπορεί να αρχίσει από μια διαδικασία παρόμοια με την κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων. Είναι βέβαια σαφές για τον Αυγουστίνο ότι η γνώση του Θεού και η μαθηματική γνώση δεν ήταν το ίδιο πράγμα. » Η ανομοιότητά τους βρίσκεται στην διαφορά των αντικειμένων κι όχι της κατανόησης». Τα μαθηματικά παρ’  όλους τους περιορισμούς τους , μπορούσαν πράγματι να παράσχουν μια κλίμακα προς το θείο. Ισχυρίζεται επίσης ότι : «Είναι ανόητο να πιστεύει κάποιος ότι είναι καλύτερος επειδή μελετά τον ουρανό , μετρά τα άστρα και ζυγίζει τα στοιχεία αλλά αγνοεί Εσένα που έχεις τακτοποιήσει τα πάντα με μέτρο , αριθμό και βάρος». Διαφαίνεται λοιπόν και στον Αυγουστίνο η θέση της ανωτερότητας της γνώσης του Θεού από τη μαθηματική γνώση , την οποία χρησιμοποιεί μόνο για για την διάδοση και προάσπιση των θείων αληθειών. Τέλος χρησιμοποιεί κι αυτός συχνά την αριθμολογία. Είναι σταθερή η πεποίθησή του για τη μυστικιστική λογική των αριθμών που χρησιμοποιούνται στη Βίβλο. Στο έργο του Περί Τριάδος εντοπίζει νοήματα στις έξι ημέρες της δημιουργίας μια και ο αριθμός 6 είναι πρώτος και τέλειος. Η  αριθμολογία προϋποθέτει πίστη στη σχέση μαθηματικών και θείου.Ο Αυγουστίνος συχνά χρησιμοποιεί τους αριθμούς για να αποσαφηνίσει θεολογικές έννοιες. Ο αριθμός ένα συμβόλιζε το Θεό , την αρχή των πάντων όπως το 1 γεννά τους υπόλοιπους αριθμούς. Δημιουργήθηκε βέβαια πεδίο σημαντικών αντιπαραθέσεων αν ο Θεός της χριστιανικής αποκάλυψης ταυτίζεται ή διαφορροποιείται από το νεοπλατωνικό Εν (Μονάδα). Ταυτιζόμενος με την νεοπλατωνική αντίληψη περί μαθηματικών που παρατηρούμε σε άλλους χριστιανούς ερμηνευτές θεωρεί ότι τα μαθηματικα είναι δραστηριότητα του Θεού  , θεωρώντας βέβαια ότι είναι δυστυχείς όσοι μελετούν τα άστρα αλλά παραμελούν το Δημιουργό τους.

 Ανέκδοτη ιστορία : » Όυλερ εναντίον Ντιντερό «.
                  Τα μαθηματικά για την ύπαρξη του Θεού.

Ο ρόλος του αυλικού μαθηματικού περιγράφεται θαυμάσια από την ακόλουθη ιστορία, που λένε ότι συνέβη με τον Όιλερ κατά την περίοδο της παραμονής του στην Αγία Πετρούπολη. Η Μεγάλη Αικατερίνη φιλοξενούσε τον ονομαστό Γάλλο φιλόσοφο και άθεο Ντενί Ντιντερό. Ο Ντιντερό δε σταματούσε να λοιδορεί τα Μαθηματικά, δηλώνοντας ότι δεν προσφέρουν καμία ουσιαστική εμπειρία και ως μόνο αποτέλεσμα παρεμβάλλουν ένα πέπλο ανάμεσα στα ανθρώπινα όντα και τη φύση. Η Αικατερίνη κουράστηκε σύντομα από τον επισκέπτη της, όχι τόσο εξαιτίας των απαξιωτικών σχολίων για τα μαθηματικά, όσο για τις συνεχείς προσπάθειες να υποσκάψει τη θρησκευτική πίστη των αυλικών της. Ο Όιλερ προσκλήθηκε στην αυλή και του ζητήθηκε να συμβάλει στον περιορισμό της αθυροστομίας του ανυπόφορου άθεου. Ευγνώμων για την υποστήριξη της Αικατερίνης, ο Όιλερ συμφώνησε να βοηθήσει. Μπροστά στη συγκεντρωμένη Αυλή, απευθύνθηκε με σοβαρότητα στον Ντιντερό, λέγοντάς του: «Κύριε, (α + β^ν)^ν = χ, άρα ο Θεός υπάρχει. Απαντήστε». Λέγεται ότι μπροστά στο βάρος μιας τέτοιας μαθηματικής…απόδειξης, ο Ντιντερό αποσύρθηκε.
Πρόκειται για την κατατρόπωση του φιλοσόφου από έναν μαθηματικό. Στηρίζεται στην άγνοια του πρώτου που αγνοεί το Θεό ακριβώς όσο και τα μαθηματικά. Ο φιλόσοφος που αρνείται το Θεό που αγνοεί πρέπει να αρνηθεί και την ύπαρξη των μαθηματικών. Άρα μαθηματικά δεν υπάρχουν ….. Αν όμως υπάρχουν , τότε ίσως υπάρχει και ο Θεός! Εκεί βρίσκεται η ουσία της μαθηματικής απόδειξης ύπαρξης του Θεού που επιχείρησε ο Όυλερ στον Ντιντερό.

Ο Ντεκάρτ και η απόδειξη ύπαρξης του Θεού.

Αφού βεβαιώθηκε για. τον εαυτό του, ο Ντεκάρτ επιδόθηκε στην έρευνα της Μεταφυσικής. Για να είναι βέβαιος πως δεν θα παραδεχτεί τίποτα που να μην είναι εντελώς αληθινό, αποφασίζει ν’ αμφιβάλλει για τα πάντα, και προπάντων για τα δεδομένα τών αισθήσεων. Για ν’ αμφιβάλλει όμως θα πει πως σκέπτεται, και για να σκέπτεται θα πει πως υπάρχει. Τα δυό αυτά αποτελούν ένα. «Σκέπτομαι, άρα υπάρχω» είναι η πρώτη αρχή τής Μεταφυσικής του (§ 36).
Αφού βεβαιώθηκε πως υπάρχει, ο Ντεκάρτ εξετάζει το τί είναι. Διαπιστώνει πως αντιλαμβάνεται την ύπαρξή του μονάχα χάρη στο ότι σκέφτεται. Επομένως είναι σκέψη, ψυχή, που υφίσταται ανεξάρτητα από κάθε ύλη, κι είναι συνεπώς ξεχωριστή από το σώμα (§ 37).
Η αρχή αυτή μάς διδάσκει ακόμα και πως, για να είναι μια πρόταση αληθινή, πρέπει να είναι καθαρή και διακριτή. Αυτά τα δυό χαρακτηριστικά αποτελούν το κριτήριο της αλήθειας (§ 38).
Κατόπι, ο Ντεκάρτ περνά στην ύπαρξη του Θεού. Η ενέργεια της σκέψης, με την οποία διαπιστώνω την ύπαρξή μου, είναι η αμφιβολία. Αλλά η αμφιβολία. μαρτυρεί ατέλεια. Είμαι λοιπόν ατελής. Για να το ξέρω όμως πως είμαι ατελής, θα πει πως έχω και την ιδέα τής τελειότητας. Από πού άραγε έχω αυτή την ιδέα τού τέλειου; Μια τέτοια ιδέα μπορεί να προέρχεται μόνο από ένα ον τέλειο, δηλαδή τον Θεό. Άρα υπάρχει Θεός (§ 39).
Ένα ον μη τέλειο, που έχει την ιδέα τού τέλειου, δεν μπορεί να δημιουργήθηκε μόνο του. Αλλιώς θα είχε δώσει στον εαυτό του την τελειότητα. Πρέπει λοιπόν να υπάρχει κάποιος δημιουργός, και δικός μας και της ιδέας τού τέλειου : Ο Θεός. Συνάμα, αποδείχνεται πως ο Θεός είναι απαλλαγμένος από κάθε ατέλεια. Ατέλεια θα είταν και το να είναι ο Θεός φύση σύνθετη — νοητική και σωματική. — Επομένως, είναι φύση αποκλειστικά νοητική, από την οποία εξαρτιέται ό,τι υπάρχει (§ 39).
Αφού αποδείχτηκε η ύπαρξη του Θεού, η σκέψη στρέφεται προς τα εξωτερικά πράματα, για τα οποία αποφάσισε στην αρχή ν’ αμφιβάλλει. Η γεωμετρική έκταση είναι ό,τι από τον εξωτερικό κόσμο διανοούμαστε καθαρα. Αυτό μάς δίνει μια πρόσθετη απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού. Όλη η βεβαιότητα των γεωμετρικών αποδείξεων βασίζεται στο ότι τις διανοούμαστε με απόλυτη προφάνεια. Εξετάζοντας όμως την ιδέα τού τέλειου όντος βρίσκουμε πως το στοιχείο τού υπαρκτού περιλαμβάνεται μέσα: στην ιδέα τής τελειότητας, όσο αναγκαστικά περιλαμβάνεται και οποιαδήποτε ιδιότητα του τριγώνου μέσα στην ιδέα τού τριγώνου. Δεν είναι δυνατόν κάτι να είναι τέλειο κι ωστόσο να μην υπάρχει (§ 40).
Εκείνο που κάνει να δυσκολεύονται πολλοί να πειστούν για την ύπαρξη του Θεού και της ψυχής, είναι πως είναι πολλοί κείνοι που είναι ανίκανοι να διανοηθούν οτιδήποτε δεν χωρεί στη φαντασία τους, που είναι «τροπος σκέψης» ειδικός για τα υλικά πράματα (§ 41).
Ωστόσο, η ύπαρξη των υλικών πραγμάτων είναι πολύ λιγότερο βέβαιη από την ύπαρξη του Θεού. Γιατί, ακόμα και το ότι οι καθαρές και διακριτες ιδέες μας μάς εξασφαλίζουν την αλήθεια, είναι σίγουρο αποκλειστικά επειδή υπάρχει ο Θεός, που με την ύπαρξή του μας βεβαιώνει πως δεν είναι δυνατόν να είμαστε θύματα απάτης κανενός πονηρού πνεύματος (§§ 42 – 43).

Ο ΠΛΑΤΩΝΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία. Η ιεράρχηση στην οντολογία του Πλάτωνα φαίνεται στο σχήμα. Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι πριν εισέλθει στο σώμα.
Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων. Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας, πως γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων. Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία, διατήρησαν την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο. Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του Είναι.
Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομάζετο αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή.

Ο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

Οι θέσεις του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά είναι κυρίως μια πολεμική των θέσεων του Πλάτωνα. Η φιλοσοφία του Αριστοτέλη περιέχει σπέρματα εμπειρισμού. Ο Αριστοτέλης απέρριπτε τον κόσμο του Είναι. Δεχόταν όμως την ύπαρξη των Μορφών όχι όμως ως μέλη κάποιου ξεχωριστού κόσμου. Η Ομορφιά για παράδειγμα είναι το κοινό που υπάρχει στα όμορφα αντικείμενα, όταν όμως αυτά καταστραφούν παύει να υπάρχει και η Ομορφιά. Ο Αριστοτέλης δίνει σημασία όχι στο ερώτημα αν υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα, αλλά με ποιο τρόπο υπάρχουν. Γιατί χρειαζόμαστε τα μαθηματικά αντικείμενα και σε ποιου πράγματος την εξήγηση βοηθούν; Όσον αφορά στην ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων, αυτά ενυπάρχουν στα αισθητά αντικείμενα και όχι έξω από αυτά. Φαίνεται πως ο Αριστοτέλης υπονοούσε κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης, με τη βοήθεια της οποίας για παράδειγμα αν επικεντρωθούμε στην επιφάνεια μιας από τις πλευρές ενός κύβου από πάγο, αποκτούμε την έννοια του επιπέδου. Αντίστοιχα οι φυσικοί αριθμοί κατακτώνται μέσω αφαιρέσεως, από συλλογές φυσικών αντικειμένων. Αυτό που μένει είναι μια εξήγηση της λειτουργίας της αφαίρεσης. Η αφαίρεση έτσι όπως τουλάχιστον την χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης έχει επικριθεί αρκετά συχνά, όπως τον 20ο αιώνα από τον λογικολόγο Gottlob Frege. Μια δεύτερη ερμηνεία των θέσεων του Αριστοτέλη απορρίπτει την οντολογική αφαίρεση. Αν παραλείψουμε κάποιες ιδιότητες πχ μιας σφαίρας από ορείχαλκο, για να μελετήσουμε κάποιες ιδιότητες της σφαίρας δεν δημιουργούμε κάποιο καινούργιο αντικείμενο, μελετάμε συγκεκριμένες όψεις αυτού του φυσικού αντικειμένου. Παρόλα αυτά ο Αριστοτέλης θεωρούσε αβλαβές να προσποιηθούμε ότι το γεωμετρικό στερεό σφαίρα είναι ένα ξεχωριστό αντικείμενο.
Τελικά κατά τον Αριστοτέλη ο μαθηματικός μελετά πραγματικές ιδιότητες πραγματικών φυσικών αντικειμένων, δεν υπάρχουν δύο κόσμοι ο φυσικός και ο μαθηματικός. Μια άλλη διαφορά μεταξύ Αριστοτέλη και Πλάτωνα είναι ότι για τον πρώτο έχει νόημα η δυναμική γλώσσα της γεωμετρίας αφού η μετακίνηση ο τετραγωνισμός η επίθεση η πρόσθεση κλπ αφορά φυσικά αντικείμενα. Υπάρχει και η άποψη πως η συνεχής αφαίρεση από τα πραγματικά αντικείμενα, όπως η αφαίρεση των ατελειών αλλά και του υλικού από το οποίο αποτελούνται, οδηγούν από την πίσω πόρτα σε ένα κόσμο ιδεών σαν και αυτό του Πλάτωνα.

Ο ΚΑΝΤ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Στα «Προλεγόμενα για κάθε μελλοντική μεταφυσική» ο Καντ, ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά είναι μια εξ ολοκλήρου καθαρή επιστήμη, δηλαδή μια επιστήμη που αναπτύσσεται a priori (ανεξάρτητα από την εμπειρία). Λέει λοιπόν για τα μαθηματικά: «εδώ υπάρχει μια μεγάλη και δοκιμασμένη γνώση … που έχει μέσα της πέρα για πέρα αποδεικτική βεβαιότητα, δηλαδή απόλυτη αναγκαιότητα, συνεπώς δεν βασίζεται πάνω σε εμπειρικά θεμέλια, είναι λοιπόν καθαρό προϊόν της λογικής». Διερευνώντας τις αρχικές τους πηγές ανακαλύπτει ότι « κάθε μαθηματική γνώση έχει την εξής ιδιοτυπία: πρέπει πρώτα να παρουσιάζει την έννοια της μέσα στην εποπτεία και μάλιστα a priori, δηλαδή σε μια εποπτεία που να μην είναι εμπειρική αλλά καθαρή». Από την «κριτική του Καθαρού λόγου» διαβάζουμε «ονομάζω καθαρές… όλες τις παραστάσεις στις οποίες δεν υπάρχει τίποτα που να ανήκει στο αίσθημα. Συνεπώς η καθαρή μορφή των κατ’ αίσθηση εποπτειών, χάρη στην οποία όλη η πολλαπλότητα των φαινομένων εποπτεύεται κάτω από το φως ορισμένων σχέσεων, βρίσκεται a priori μέσα στο πνεύμα». «αυτό είναι δυνατό μόνο εφόσον η εποπτεία δεν εποπτεύει το υλικό κάποιου αντικειμένου, που μας γίνεται αντιληπτό μέσω των αισθήσεων, αλλά αφορά μόνο τη μορφή, την ικανότητα να σκεπτόμαστε» (από τα «προλεγόμενα»). Ο καθαρός «χώρος (ΣΣ. Γεωμετρία) και ο χρόνος (ΣΣ. Αριθμητική) είναι εκείνες οι εποπτείες, τις οποίες τα καθαρά Μαθηματικά θέτουν ως βάση όλων των γνώσεων και κρίσεων τους, οι οποίες θεωρούνται αποδεικτικές και συνάμα αναγκαίες… τα Μαθηματικά είναι αδύνατο να προχωρήσουν έστω και ένα βήμα, όσο τους λείπει η καθαρή εποπτεία, γιατί μόνο αυτή δίνει το υλικό για συνθετικές κρίσεις a priori».
«Για να εξηγήσουμε και να επικυρώσουμε όσα ειπώθηκαν, αρκεί να προσέξουμε τη συνηθισμένη και απόλυτα αναγκαία μέθοδο ενός γεωμέτρη. Όλες οι αποδείξεις για το ότι δυο δεδομένα σχήματα είναι εντελώς όμοια (εφόσον όλα τα μέρη του ενός μπορούν να τεθούν στη θέση του άλλου) καταλήγουν τελικά στο ότι αυτά συμπίπτουν, τούτο δεν είναι προφανώς άλλο από μια συνθετική πρόταση που στηρίζεται στην άμεση εποπτεία, και αυτή η εποπτεία πρέπει να είναι δεδομένη καθαρά και a priori, γιατί αλλιώς αυτή η πρόταση δε θα μπορούσε να ισχύει ως αποδεικτικά βέβαιη, παρά θα είχε μόνο εμπειρική βεβαιότητα. Θα σήμαινε μόνο: έχουν παρατηρήσει ότι αυτό έτσι είναι πάντα, και αυτή η πρόταση ισχύει τόσο μόνο, όσο εκτείνεται η κατ’ αίσθηση αντίληψη μας. Ότι όλος ο χώρος (ο οποίος σαν τέτοιος δεν είναι πια όριο ενός άλλου χώρου) έχει τρεις διαστάσεις, και ότι ο χώρος εν γένει δεν μπορεί επίσης να έχει περισσότερες απ’ αυτές, στηρίζεται στην πρόταση ότι σε ένα σημείο δεν μπορούν να τέμνονται κατά ορθή γωνία περισσότερες από τρείς γραμμές, αλλά αυτή η πρόταση δεν μπορεί να αποδειχτεί με έννοιες, παρά στηρίζεται απευθείας πάνω σε εποπτεία και μάλιστα πάνω σε καθαρή εποπτεία a priori, γιατί η πρόταση είναι αποδεικτικά βέβαιη. Το να απαίτηση κάποιος να εκτείνεται μια ευθεία μέχρι το άπειρο ή να συνεχίζεται επ’ άπειρο μια σειρά μεταβολών (πχ. Χώροι τους οποίους έχει διατρέξει μια κίνηση), προϋποθέτει μια παράσταση περί χώρου και χρόνου, που μπορεί να εξαρτάται μόνο από την εποπτεία, κατά το μέτρο που αυτή δεν περιορίζεται από τίποτα, γιατί από έννοιες αυτή δεν θα μπορούσε ποτέ να παραχθεί. Στα Μαθηματικά υπάρχουν λοιπόν πράγματι ως βάσεις καθαρές εποπτείες a priori, οι οποίες καθιστούν δυνατές τις συνθετικές και αποδεικτικά ισχύουσες μαθηματικές προτάσεις, συνεπώς η δική μας υπερβατική παραγωγή των εννοιών χώρος και χρόνος εξηγεί συνάμα την δυνατότητα μιας καθαρής μαθηματικής επιστήμης, η οποία χωρίς μια τέτοια παραγωγή και αν δε δεχτούμε ότι ‘κάθε τι που μπορεί να δοθεί στις αισθήσεις μας το αντιλαμβανόμαστε όνο όπως μας εμφανίζεται και όχι όπως είναι καθ’ εαυτό’ θα μπορούσε η μαθηματική επιστήμη να γίνει δεκτή, αλλά κατά κανένα τρόπο κατανοητή». (τα bold δικά μου).

 O ΚΟΡΝΗΛΙΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θα έλεγα ότι υπάρχει μια μεγάλη διαφορά μεταξύ μαθηματικών και φιλοσοφίας, η οποία μπορεί να συνοψιστεί στο εξής: Τα μαθηματικά στη «δουλειά» τους είναι συνολοταυτιστικά, δηλαδή εργάζονται με τη λογική την οποία εγώ ονομάζω συνολοταυτιστική. Πρόκειται για τη λογική της θεωρίας των συνόλων, με οποιεσδήποτε εκλεπτύνσεις ή επεξεργασίες μπορεί αυτή να έχει υποστεί τον 20ό αιώνα. (Η θεωρία των συνόλων, άλλωστε, είναι κατ’ ουσίαν θεωρία του 20ού αιώνα.) Και λέω ταυτιστική, διότι το βασικό της αξίωμα είναι η αρχή της ταυτότητας, η αρχή της μη αντίφασης. Λοιπόν, τα μαθηματικά είναι συνολοταυτιστικά στη «δουλειά» τους, από τη μια μεριά. Από την άλλη, όσον αφορά τη «θέση», την επιλογή των αξιωμάτων τους, είναι αυστηρώς ποιητικά, δηλαδή είναι «δημιουργικά».
Είναι προφανές ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου μπορεί να πει κανείς ότι οι μαθηματικοί, έπειτα από πολλή δουλειά, συνήγαγαν τα αξιώματα από το σύνολο των προτάσεων που είχαν μπροστά τους (ή, αλλιώς, τα υπήγαγαν σ’ αυτές). Μπορούμε να πούμε, για παράδειγμα, ότι ο Ευκλείδης είχε μπροστά του μια τεράστια γεωμετρική δουλειά, το προϊόν των τριών προηγουμένων αιώνων, και, διατυπώνοντας για πρώτη φορά την υποθετικοαπαγωγική μέθοδο, διερωτήθηκε ποιο είναι το ελάχιστο των αρχών που μπορούν να στηρίξουν αυτά τα θεωρήματα, τα οποία, κατά τα άλλα, είναι αληθή ή αληθοφανέστατα· έτσι «οδηγήθηκε» στα αξιώματά του. Γενικότερα, όμως, αυτό που χαρακτηρίζει τη δουλειά των μαθηματικών είναι η «θέση», η επιλογή αξιωμάτων τα οποία δεν συνάγονται από κάποια εμπειρία, ούτε βγαίνουν απλώς λογικά. διότι, αν παράγονταν λογικά, δεν θα ήταν αξιώματα, θα ήταν θεωρήματα της λογικής. Δείτε λοιπόν, λόγου χάρη, τα διάφορα συστήματα αξιωμάτων τα οποία στηρίζουν τις διάφορες μορφές της τοπολογίας και θα καταλάβετε. Συνεπώς, τα μαθηματικά δεν είναι απλώς αποδοχή λογικών αρχών και μεταμαθηματικών κανόνων. Εάν δεν είχε υπάρξει «δημιουργία» νέων αξιωμάτων, όποτε εμφανίστηκε η ανάγκη, τα μαθηματικά θα είχαν σταματήσει προ πολλού.
Οσον αφορά τη δημιουργία στα μαθηματικά, πέραν της συνολοταυτιστικής λογικής δεν υπάρχει κανένας περιορισμός ή εξαναγκασμός που να οδηγεί σε αυτήν, που να την κατευθύνει. Δεν υφίσταται κάτι που να περιορίζει την επιλογή των αξιωμάτων, εκτός, φυσικά, από τη μη αντιφατικότητα, τη συμβιβαστότητα των αξιωμάτων, αλλά και την επάρκειά τους. αλλά μόνον με τις δύο αυτές αρχές δεν μπορεί κανείς να δημιουργήσει αξιώματα. αυτές αποτελούν απλώς αρνητικούς όρους. Αντιθέτως, η φιλοσοφία δεν υπακούει, παρά μόνον εν μέρει και κατά εργαλειακό τρόπο στη συνολοταυτιστική λογική, διότι το αντικείμενό της υπερβαίνει τα σύνολα, ή τα συνολοποιήσιμα όντα, και ασχολείται με αυτό που ονομάζω μάγμα.

Περισσότερα εδώ.

ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΑΤΩΝΙΣΜΟΣ

images

Godel εκφραστής του
νεοπλατωνισμού
στα μαθηματικά.

Το κεντρικό ερώτημα που αφορά στη φύση των μαθηματικών και στην ανάπτυξη της επιστήμης είναι το εξής: «Οι άνθρωποι ανακαλύπτουν ή κατασκευάζουν τα μαθηματικά;» Ζούμε σε ένα κόσμο που καθορίζεται από σταθερούς μαθηματικούς κανόνες που ο άνθρωπος ανακάλυψε και κατέγραψε ή είναι τα μαθηματικά μια ανθρώπινη κατασκευή η οποία υποστηρίζει τις δημιουργίες μας;

O Πλατωνισμός υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές ιδέες υπάρχουν ανεξάρτητα από την ανθρώπινη γνώση και ανακαλύπτονται από εμάς. Αποτελούν μέρος της φύσης και παραμένουν αμετάβλητα στον χρόνο. Είναι η απόλυτη άποψη για τα μαθηματικά που τα θέλει ως ένα αμετάβλητο σώμα από μαθηματικές αλήθειες η οποία εκφράζει την πεποίθηση για την βέβαιη και χωρίς ψεγάδια μαθηματική γνώση.
Οι παραγωγικές μέθοδοι της λογικής κάνουν δυνατή τη διατήρηση της μαθηματικής αλήθειας, ενώ η μαθηματική γνώση επεκτείνεται με την ανακάλυψη νέων αποτελεσμάτων τα οποία στερούνται αναφοράς στον φυσικό κόσμο. Για αιώνες το μοντέλο του προγράμματος αυτού ήταν η γεωμετρία των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Ωστόσο, αυτή η απόλυτη θέση κλονίστηκε από τα μέσα του 18ου αιώνα όταν οι Lobachevsky – Bolyai και Rieamann αρνούμενοι το 5ο αίτημα του Ευκλείδη παρήγαγαν αντιφάσεις, κάτω από την απόλυτη θέαση του Πλατωνισμού, εντός του Ευκλειδίου συστήματος.

Οι Πλατωνιστές για να διασώσουν την ισχύ της θεωρίας τους περί της απολυτότητας των μαθηματικών αντικειμένων, αναζήτησαν στήριξη στην αριθμητική, όπου η τυποποίηση της αριθμητικής από τη θεωρία συνόλων και τη λογική φάνηκε να βοηθάει. Όμως και αυτή η προσπάθεια δεν καρποφόρησε εξ’ αιτίας των συνολοθεωρητικών παραδόξων. Όμως παρά την αποτυχία των προσπαθειών για την αξιωματικοποίηση των μαθηματικών, οι Πλατωνιστές διατηρούν την άποψη τους για τα μαθηματικά ως ενσάρκωση της αλήθειας της φύσης.

  1. Ο ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ

Ο φορμαλισμός (με κυριότερο εκφραστή τον D. Hilbert) αποδέχεται ότι τα μαθηματικά δεν αντιστοιχούν στον κόσμο της εμπειρίας και αρνούνται όλους τους μηχανισμούς της αναπαράστασης προκειμένου να διασώσουν την συνέπεια τους. Οι φορμαλιστές θεωρούν ότι τα μαθηματικά είναι αντικείμενα χωρίς νόημα και εμφανίζουν τα τυπικά συστήματα και το παιχνίδι των συμβόλων και των ορισμών ως το μοντέλο της αλήθειας και της βεβαιότητας. Ωστόσο ούτε έτσι δικαιώνεται η απόλυτη θέση των μαθηματικών αντικειμένων, αφού ο Godel το 1930 απέδειξε ότι τα συνεπή τυπικά συστήματα ακόμα και στο βασικό επίπεδο της αριθμητικής στερούνται πληρότητας.

«Για πολλά εκπαιδευμένα πρόσωπα, τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που χαρακτηρίζεται από σίγουρα και αλάθητα αποτελέσματα των οποίων βασικά στοιχεία είναι οι αριθμητικές πράξεις, οι αλγεβρικές διαδικασίες και οι γεωμετρικοί όροι και θεωρήματα» (A. Thompson, 1992).

Για τους χρήστες και κάποιους καθηγητές των μαθηματικών ο φορμαλισμός μεταφράζεται σε μια εργαλειακή αντίληψη για τα μαθηματικά. Οι περισσότεροι καθηγητές μαθηματικών είναι φορείς της αντίληψης θεωρώντας τα μαθηματικά ως σύνολο από κανόνες που όταν χρησιμοποιηθούν σωστά παράγουν μοναδικές σωστές απαντήσεις. Έτσι, ενισχύεται η απόλυτη Πλατωνική και Φορμαλιστική φιλοσοφία, παρά τα προβλήματα που αυτές έχουν.

  1. Ο ΙΝΤΟΥΣΙΟΝΙΣΜΟΣ

Η ιντουσιονιστική σχολή ξεκίνησε το 1908 από τον Ολλανδό μαθηματικό L. E. J.Brouwer (1881-1966). Ο Brouwer υποστήριξε ότι το περιεχόμενο των Μαθηματικώνείναι οι υποκειμενικές, νοητικές κατασκευές των ερευνητών μαθηματικών καισυνεπώς απέρριπτε όσα μέρη των Μαθηματικών δεν ταίριαζαν σε αυτή την ερμηνεία.Για τον ιντουισιονισμό, η ύπαρξη οποιουδήποτε μαθηματικού αντικειμένου σχετίζεται με την κατασκευή του. Δηλαδή, μια μαθηματική πρόταση δεν είναι δυνατόν να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής, εκτός αν αναφέρεται σε ένα μαθηματικό αντικείμενο που έχει κατασκευαστεί από το υποκείμενο.

Στα πλαίσια της ιντουϊσιονιστικής θεωρίας η οποία αρνήται οτιδήποτε δεν γίνεται αντιληπτό από τις αισθήσεις και την εμπειρίας μας πολλά από τα βασικότερα εργαλεία των μαθηματικών που συνήθως χρησιμοποιούμε χάνουν την εγκυρότητα τους αφού πολλές αποδείξεις παύουν να ισχύουν. Για παράδειγμα οι αποδείξεις που βασίζονται στην εις άτοπον απαγωγή δεν είναι ποια έγκυρες. Η δίτιμη αριστοτέλεια λογική σύμφωνα με την οποία κάτι είναι ψευδές ή λάθος και η οποία βασίζεται στον νόμο αποκλεισμού του τρίτου παύει να ισχύει αφού κανείς δεν μπορεί να μας διαβεβαιώσει ότι δεν υπάρχει και μια τρίτη πιθανή τιμή αληθείας. Έτσι, στα πλαίσια του ιντουϊσιονισμού έγκυρες θεωρούνται μόνο οι κατασκευαστικές αποδείξεις. Υπαρκτό για τους ιντουϊσιονιστές σημαίνει κατασκευαστικά υπαρκτό και πεπερασμένα ελέγξιμο. Ενώ οποιαδήποτε άλλη απόδειξη ύπαρξης δεν είναι αποδεκτή.

Οι μαθηματικοί απορρίπτουν σχεδόν στο σύνολο τους τον ιντουϊσιονισμό του Brower για την δυσκαμψία, τις ελλείψεις και γενικότερα την αναποτελεσματικότητα του ως ικανοποιητική προσέγγιση, εκφράζει τις επιφυλάξεις του στον Πλατωνισμό στην απόλυτη μορφή του. Υποστηρίζει μια μορφή ελεγχόμενου Πλατωνισμού, πιο μετριοπαθούς, στα πλαίσια του οποίου είναι θεμιτό να αναπτύσσουμε την μαθηματική γνώση κατά τρόπο όμως ελεγχόμενο, ώστε τα αξιώματα που εισάγουμε στις θεωρίες να προκύπτουν από την νόηση μας κατά τρόπο φυσικό, όχι τελείως αυθαίρετα. Στο ερώτημα ποιοι θα είναι οι μηχανισμοί εκείνοι που εξασφαλίζουν την καταλληλότητα και την εγκυρότητα μιας τέτοιας κατασκευής δεν απαντά άμεσα. Εκφράζει την πεποίθηση όμως ότι αν υπάρχει περίπτωση να είναι προβληματικό το σύστημα θα πρέπει να πάσχει στα αντίστοιχα σημεία όπως εκείνα των γνωστών συνολοθεωρητικών παραδόξων (πχ. των Rusell – Zermelo) και τα σημεία αυτά πρέπει να ελέγχουμε. «Η έννοια της υπεροχής των μαθηματικών ως ενός καθολικά αποδεκτού και αλάθητου σώματος αιτιολόγησης, είναι μια μεγάλη ψευδαίσθηση» (M. Kline, 1980).


«Στον βαθμό που οι προτάσεις των μαθηματικών δίνουν μια περιγραφή της πραγματικότητας δεν είναι βέβαιες και στον βαθμό που είναι βέβαιες, δεν περιγράφουν την πραγματικότητα» (A. Einstein, 1921).

4.Το πρόγραμμα του Λογικισμού του Gottlob Frege
    Αντιπροσωπεύει την πρώτη ολοκληρωμένη προσπάθεια θεμελίωσης των Μαθηματικών. Η στρατηγική του Frege ήταν να δείξει ότι ηΑριθμητική είναι κλάδος της Λογικής.  Το 1884, ο Frege δημοσίευσε ένα από τα κλασικά φιλοσοφικά έργα Die Grundlagen der Arithmetik  ( «Τα θεμέλια της Αριθμητικής» ). Ο Frege αρχίζει την εισαγωγή στο βιβλίο με την παρατήρηση ότι καμία ικανοποιητική απάντηση σε μια προφανώς απλή ερώτηση, όπως τι είναι ο αριθμός ένα, δεν είχε δοθεί μέχρι τότε ούτε κανείς ήταν σε θέση να απαντήσει στη γενικότερη ερώτηση τι είναι ένας αριθμός; Απαιτείτο επομένως μια ανάλυση της έννοιας του αριθμού, εάν η Αριθμητική ήθελε να διατηρήσει τη θέση της ως επιστήμη. Από την άλλη πλευρά, ο Hilary Putnam (1979a) στο άρθρο του Μαθηματικά χωρίς θεμέλια αντιτάχθηκε στην άποψη ότι μπορούν να υπάρξουν θεμέλια για οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία.Στα Μαθηματικά δεν υπάρχουν επιστημολογικά θεμέλια, μόνο καλύτερα και χειρότερα είδη τεκμηρίων.

Υποστήριξε επίσης ότι πρέπει να εγκαταλείψουμε την ιδέα ότι υπάρχει μια καιμοναδική δικαιολόγηση για μια μαθηματική πρόταση. Οι μαθηματικές προτάσεις μπορούν να δικαιολογηθούν με διάφορους τρόπους.

  1. Λογικισμός

images1

Ο σκοπός του λογικισμού ήταν να αποδειχτεί ότι τα κλασικά Μαθηματικά είναι μέρος της Λογικής. Το γενικό σχέδιο ήταν να διατυπωθεί ένας ορισμός της έννοιας του αριθμού και έπειτα να χρησιμοποιηθεί αυτό ως βάση για να συναχθούν οι μαθηματικές αλήθειες από τα καθαρώς λογικά αξιώματα. Οι Russell και Whitehead, συνεχίζοντας το πρόγραμμα του Frege, στους τρεις τόμους του Principia Mathematica (1910-13) (που μπορεί να θεωρηθεί ως μια τυπική θεωρία συνόλων) έδειξαν ότι όλα τα κλασικά Μαθηματικά, που ήταν γνωστά στην εποχή τους, ήταν δυνατόν να παραχθούν από τη θεωρία συνόλων και ως εκ τούτου από τα αξιώματα του Principia. Συνεπώς αυτό που απέμενε να γίνει, ήταν να αποδειχτεί ότι όλα τα αξιώματα του Principia ανήκουν στη Λογική. Φυσικά, αντί του Principia, κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε άλλη τυπική συνολοθεωρία εξίσου καλά. Μέχρι σήμερα η τυπική θεωρία συνόλων που αναπτύχθηκε από τους Zermelo και Fraenkel είναι πολύ περισσότερο γνωστή από τα Principia. Σύμφωνα με τον Russell, προκειμένου να αναδειχθούν οι ォκρυφές δομές των μαθηματικών αντικειμένων, τα Μαθηματικά πρέπει να αναχθούν σε μια πιο βασική επιστημονική περιοχή, τη Λογική. Η εργασία των Whitehead και Russell στο Principia Mathematica ήταν μια προσπάθεια να αναπτυχθεί ένα πλήρως εσωτερικά συνεπές μαθηματικό σύστημα μέσω λογικών σχέσεων. Κατά την άποψή τους, τα Μαθηματικά ήταν δυνατόν να αναχθούν σε λογικές σχέσεις στο πλαίσιο ενός λογικού συστήματος χωρίς εξωτερικές αναφορές. Με τον καιρό, η θεωρία συνόλων διαμορφώθηκε έτσι, ώστε να αποκλείονται τα παράδοξα, καταλήγοντας όμως σε μια πολύπλοκη δομή στην οποία κάποιος μετά βίας θα αναγνώριζε τη Λογική με τη μορφή κανόνων για το σωστό συλλογισμό. Κατά συνέπεια, ήταν δύσκολο πλέον να πειστεί κάποιος ότι τα Μαθηματικά περιορίζονται σε μια Λογική, όπως αυτή εμφανίζεται στη θεωρία συνόλων. Ο λογικισμός κατηγορήθηκε ως προς την ιδεοληψία του για τον ακριβή λογικό συλλογισμό, επειδή άφηνε λίγα περιθώρια για τη διαίσθηση και την εικασία, που πολλοί θεωρούν ισχυρές γεννήτριες της δημιουργικής σκέψης. Η πρόταση των Whitehead και Russell αμφισβητήθηκε σοβαρά από τον Godel. Ο Godel υποστήριξε ότι ένα πλήρες και συνεπές μαθηματικό σύστημα είναι εγγενώς αδύνατο και μέσα σε οποιοδήποτε συνεπές μαθηματικό σύστημα υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να αποδειχτούν ή να ανασκευαστούν βάσει των αξιωμάτων του συστήματος. Σύμφωνα με αυτή την άποψη, οι συνέπειες από τα μαθηματικά αξιώματα έχουν νόημα μόνο υπό μια υποθετική έννοια.

Περισσότερα :  εδώ  κι εδώ. 

AΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΟΝ GODEL.

Γεννημένος στις 28 Απριλίου του 1906 στο Brno της Μοραβίας, ο Gödel ήταν ο δεύτερος από τα δυο παιδιά τού Rudolf και της Marianne Gödel, εκπατρισμένων Γερμανών των οποίων οι οικογένειες συνδέονταν με τη βιομηχανία υφασμάτων της πόλης. Κατά τη διάρκεια της σχολικής του ζωής, ο νεαρός Kurt μόνο μια φορά πήρε βαθμό που δεν ήταν “άριστα” σε κάποιο μάθημα (στα μαθηματικά!). Ωστόσο δεν έδειξε πρώιμα σημάδια ιδιοφυίας. ΄Ηταν παιδί με άκρως ερευνητική διάθεση, σε τέτοιο βαθμό που του δόθηκε το παρατσούκλι der Herr Warum (Ο κύριος Γιατί).
O Gödel σχεδίαζε να σπουδάσει φυσική. Μετά από λίγο όμως, εντυπωσιασμένος από τις παραδόσεις των μαθημάτων των καθηγητών Fhillip Furtwanler και Hans Hahn, στράφηκε στα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια της ίδιας περιόδου, ο Gödel απέκτησε αίφνης διεθνές κύρος στον τομέα της μαθηματικής λογικής. Δυο συγκεκριμένες εργασίες του τον έφεραν σε εξέχουσα θέση. Η μια ήταν η διδακτορική του διατριβή, την οποία υπέβαλε στο πανεπιστήμιο της Βιέννης το 1929 και δημοσιεύτηκε το επόμενο έτος. Η άλλη ήταν η πραγματεία “Για τις μη αποκρίσιμες προτάσεις των Principia Mathematica και άλλων συναφών συστημάτων”, που δημοσιεύτηκε στα γερμανικά το 1931 και υπεβλήθη το 1932 ως διατριβή για την παροχή άδειας διδασκαλίας.
.Στην εργασία που εκπόνησε το 1931, ο Gödel απέδειξε ότι υπάρχει κάποια πρόταση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αναγκαστικά μη αποδείξιμη. (Δηλαδή υπάρχουν αντικείμενα που, ενώ ικανοποιούν τα αξιώματα της θεωρίας αριθμών, δεν συμπεριφέρονται κατά τα άλλα όπως οι φυσικοί αριθμοί). Θα μπορούσε κανείς να αποφύγει το “θεώρημα της μη πληρότητας” αν θεωρούσε όλες τις αληθείς προτάσεις ως αξιώματα. Όμως, η απόφαση ποιες προτάσεις είναι αληθείς και ποιες όχι καθίσταται εκ των προτέρων προβληματική. Ο Gödel απέδειξε ότι, όποτε τα αξιώματα μπορούν να χαρακτηριστούν από ένα σύνολο μηχανιστικών κανόνων, δεν έχει σημασία ποιες προτάσεις λαμβάνουμε ως αξιώματα: αν αυτές οι προτάσεις αληθεύουν για τους φυσικούς αριθμούς, κάποιες άλλες αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς θα παραμένουν μη αποδείξιμες. Συγκεκριμένα, αν τα αξιώματα δεν αντιφάσκουν μεταξύ τους. τότε αυτό το γεγονός το ίδιο, κατάλληλα κωδικοποιημένο ως αριθμητική πρόταση θα είναι με βάση τα συγκεκριμένα αξιώματα, “τυπικά μη αποκρίσιμο” -ούτε αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο. Οποιαδήποτε λοιπόν απόδειξη συνέπειας πρέπει να επικαλεστεί αρχές ισχυρότερες από τα ίδια τα αξιώματα.
Η παραπάνω πρόταση έφερε σε δύσκολη θέση τον David Hilbert, που είχε οραματιστεί ένα πρόγραμμα διασφάλισης των θεμελίων των μαθηματικών μέσω μιας αυτοδύναμης διαδικασίας, με την οποία η συνέπεια των μαθηματικών θεωριών θα μπορούσε να εξαχθεί από τη συνέπεια άλλων απλούστερων, πιο προφανών θεωριών. Από την άλλη πλευρά, ο Gödel δεν θεώρησε ότι τα θεωρήματά του περί μη πληρότητας αποδεικνύουν την ανεπάρκεια της αξιωματικής μεθόδου, αλλά ότι η εξαγωγή των θεωρημάτων δεν μπορεί να γίνει τελείως μηχανική. Είχε την άποψη ότι τα θεωρήματά του δικαίωναν τον ρόλο της ενόρασης στη μαθηματική έρευνα.

Οι φιλοσοφικές προκτάσεις του θεωρήματος μη – πληρότητας του Godel.

Το θεώρημα μη- πληρότητας του Godel μπορεί να διατυπωθεί σύντομα ως εξής :

» Ένα σύστημα δεν μπορεί να είναι και συνεπές και πλήρες.
Ένα σύστημα μπορεί να είναι είτε πλήρες και ασυνεπές είτε
συνεπές και ελλιπές .

Η δύναμη  του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών του Ηilbert  αλλά και των Russel ,  Whitehead ήταν ότι  εφ’ όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ’ όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. Η αλήθεια ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας.
Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς στόχους ήταν να μειωθεί η όλη θεωρία αριθμών σε ένα τελικό τυπικό σύστημα. Όπως στη γεωμετρία του Ευκλείδη, ένα τέτοιο σύστημα θα άρχιζε με μερικά απλά αξιώματα που είναι σχεδόν αναμφισβήτητα, και θα παρείχε τα θεωρήματα με έναν μηχανικό τρόπο. Η ιδέα ήταν ότι αυτό το σύστημα θα εμπεριείχε κάθε δήλωση που θα μπορούσαμε να κάνουμε για τους φυσικούς αριθμούς. Το θεώρημα του Godel κατέρριψε την ελπίδα αυτήν εντελώς. Δε βρήκε απλά μια ρωγμή στο συλλογισμό των Russell και Whitehead, η οποία πιθανώς θα μπορούσε να επιδιορθωθεί. Έδειξε ότι ο ολόκληρος στόχος είναι ανεπίτευκτος! Πιο συγκεκριμένα, ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες.

           ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ
            
 ΚΡΙΣΗ ΣΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.

Ο ορισμός του Cantor για την έννοια του συνόλου περιλάμβανε το συλλογισμό :
» Σύνολο είναι μια ομάδα ομοειδών  διακεκριμένων αντικειμένων που μπορούν να αποτελούν συγχρόνως μια ενιαία ολότητα». Για αρκετό καιρό αυτός ο ορισμός αν και διαισθητικός ικανοποιούσε την εμπειρική λογική και θεωρούνταν ασφαλής.Το αίτημα όμως της αναζητήσεως  ενός πιο αυστηρού ορισμού με αξιωματική και τυποκρατική συγκρότητση έμενε ανοικτό. Η καντοριανή προσέγγιση παρέμενε ακλόνητη έστω ως αναγκαστική λύση. Τα πράγματα αλλάζουν όταν εμφανίζεται   το πρώτο παράδοξο του Russel που απέδειξε την αντιφατικότητα  του  παραπάνω ορισμού. Αυτή η απρόσμενη εξέλιξη σήμανε την αποδόμηση της καντοριανής συνολοθεωρίας. Έκανε ακόμη πιο απαιτητική την ανάγκη μιας αξιωματικής συνολοθεωρίας σύμφωνης με την σύγχρονη επιστημολογία. Να ήταν μόνο αυτό! Το παράδοξο έφερε την αρχή μιας κρίσης στα θεμέλια των μαθηματικών.  Πως ένας ορισμός που διαισθητικά μας ικανοποιεί αντιβαίνει στην λογική και παράγει αντιφάσεις; Πως σωριάζεται χάμω  μια στέρεη μαθηματική θεωρία ;  Γρήγορα εμφανίζονται πολλά παράδοξα ή καταγράφονται παλαιότερα από την εποχή του Ζήνωνα του Ελεάτη στην αρχαία Ελλάδα έως τον Γαλιλαίο. Ο καταιγισμός  των λογικών παραδόξων αφορούσε κυρίως  τα άπειρα αριθμοσύνολα και τις ιδιότητες τους. Φαινόταν ότι ιδιότητες των πεπερασμένων συνόλων πάνω στις οποίες στηριζόταν η εμπειρία μας δεν βρίσκαν εφαρμογή στο άπειρο. Σωστά οναμάστηκαν :’ παράδοξα του απείρου».Πολλά τέτοια  θα βρείτε στην ανάρτηση : ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ αυτού του ιστολογίου. Φάνηκε λοιπόν ότι η γεννεσιουργός αιτία των παραδόξων ήταν η έννοια του απείρου. Το άπειρο φάνταζε λοιπόν απροσπέλαστο στην ανθρώπινη λογική. Γεμάτο με αδιέξοδα και αντινομήσεις. Έσπαγε τα  όρια της πεπερασμένης αλήθειας και περιείχε ιδιότητες απόλυτα αντίθετες με τις κοινά αποδεκτές. Τα μαθηματικά αποδεικνυόταν ανίσχυρα να  δαμάσουν το άπειρο. Φάνηκε η οριοθέτηση των δυνατοτήτων της μαθηματικής λογικής. Η λογική αυτή έχει όρια και δεν εφαρμόζεται στα άπειρα σύνολα. Η θεοποίηση του ορθολογισμού δέχεται πλήγμα . Πόσο πεπεραμένη και οριοθετημένη είναι η λογική μας; Πόσες κατραπακιές δεν παθαίνει στο άπειρο με βάρκα την ελπίδα;Κατά τη γνώμη μου οι θεραπείες που προτάθηκαν από τότε δεν δίνουν πειστικές απαντήσεις σε  αυτούς τους προβληματισμούς. Δεν αναιρούν τα παράδοξα , ούτε θεραπεύουν την αδυναμία της λογικής μας. Απλά μεταθέτουν το πρόβλημα. Φανερώνουν νέες θεωρήσεις ανώδυνες και λογικά τακτοποιημένες , χωρίς  όμως να μελετούν τις παραδοξότητες. Ήταν πράγματι μια σοβαρή κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών. Από τότε κάναμε ότι καλύτερο μπορούσαμε . Δημιουργήσαμε μια αξιωματική συνολοθεωρία που να ξεπερνά το σκόλοπα της αντιφατικής καντοριανής θεωρίας. Προσεγγίσαμε τα άπειρα αριθμοσύνολα με διαφορετικές προσεγγίσεις που να μη συγκρούονται με όσα κατανοούμε .Σώσαμε το γόητρό μας με όσο το δυνατό λιγότερες απώλειες. Μπράβο μας!  Κανείς λόγος όμως για την ταμπακέρα. Πάψαμε να κοιτάμε το άπειρο και νομίσαμε ότι τελειώσαμε. Κρύψαμε τα παράδοξά του κάτω από το χαλί και πανηγυρίζουμε για την κάθαρση που πετύχαμε. Το άπειρο όμως  μας κοιτά και χαμογελά πονηρά. Τα παράδοξά του μας υποδεικνύουν την αδυναμία της πεπερασμένης λογικής μας. Και φανταστείτε ότι ζούμε σε μια εποχή θεοποίησης του ορθολογισμού. Και φανταστείτε ότι τα μαθηματικά είναι ο βασιλιάς της λογικής.Το άπειρο συνεχίζει να μειδιά.. Καλά έχουν γράψει :

» Το άπειρο βρίσκεται  πέρα από τη φαντασία «

  » Άπειρο :Τα μαθηματικά της αθανασίας «.

Μόσχος Αλέξανδρος.

 Φιλοσοφικοί προβληματισμοί

για το θεώρημα των 4 χρωμάτων …

Ορισμός του  προβλήματος…

Οποιαδόποτε επιφάνεια που χωρίζεται σε περιοχές, όπως ένας πολιτικός χάρτης των νομών ενός κράτους, μπορούν να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας λιγότερα από τέσσερα χρώματα κατά τέτοιο τρόπο ώστε καμία από δύο παρακείμενες περιοχές να μην  έχουν το ίδιο χρώμα.  ήταν το πρώτο σημαντικό θεώρημα που αποδεικνύεται, χρησιμοποιώντας υπολογιστή, και η απόδειξη δεν είναι αποδεκτή από όλους τους μαθηματικούς επειδή θα ήταν αδύνατον για έναν άνθρωπο να  το ελέγξει με το χέρι.

Προβληματισμοί …

Η απόδειξη του Θεωρήματος των 4 χρωμάτων είναι μια πύλη προς ορισμένα ενδιαφέροντα ερωτήματα σχετικά με το ρόλο του ανθρώπινου νου και των υπολογιστικών μηχανών στα μαθηματικά.  Είναι θεμιτό να αποδεικνύει η μηχανή κάτι που ο άνθρωπος αδυνατεί; Φανερώνει κάτι τέτοιο μια αδυναμία και ένα φυσικό περιορισμό στις δυνατότητες της ανθρώπινης νόησης; Είναι αποδεκτές στα μαθηματικά αποδείξεις που δεν μπορεί να τις παρακολουθήσει το ανθρώπινο μυαλό αλλά είναι προϊόν ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή;Αλλάζει με το τρόπο αυτό η υφή και η φύση της μαθηματικής επιστήμης; Προς το καλύτερο άραγε ή προς το χειρότερο; Είναι δεκτός ο υπολογιστής ως χρήσιμο εργαλείο σκέψης και απόδειξης στα μαθηματικά , με τρόπο ώστε να υποκαθιστά τον ανθρώπινο νου;

O μύθος του Ευκλείδη.
Η ευκλείδεια γεωμετρία εκφράζει τις μόνες απόλυτες αλήθειες γιατί εναρμονίζονται πλήρως με την εμπειρική μας διαίσθηση και άρα αντιστοιχούν στην μόνη πραγματικότητα.

 

Για περισσότερα από 50 χρόνια οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να αποδείξουν το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη. Στράφηκαν σε πολλές κατευθύνσεις αλλά όλες οι προσπάθειες απέτυχαν. Κάποια στιγμή τον 19ο αιώνα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία του 5ου αξιώματος. Μέσα δηλαδή στο τυποκρατικό αξιωματικό σύστημα της ευκλείδειας γεωμετρίας  δεν μπορούσε να αποδειχθεί ούτε ως αληθές , ούτε ως ψευδές. Άμεση συνέπεια αυτής της ανεξαρτησίας ήταν ότι θα μπορούσε να αντικατασταθεί με ένα άλλο αντίθετό του χωρίς να αποδομηθεί η ορθότητα της γεωμετρίας ως λογικό οικοδόμημα. Αυτό έπραξαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες , αντικαθιστώντας το αίτημα των παραλλήλων με άλλα αξιώματα. Κατασκευάστηκαν με τον τρόπο αυτό τυπικά αξιωματικά συστήματα γεωμετριών καθ΄ όλα συνεπή και συγκροτημένα που όμως στερούνται εμπειρικής επικύρωσης. Συγκρούονται δηλαδή καταφανώς με τις πραγματικές αισθήσεις μας.

Γεννιούνται έτσι φιλοσοφικά ζητήματα με αφορμή την ανάπτυξη των μη ευκλείδειων γεωμετριών. Είναι αποδεκτή μια μαθηματική θεωρία επειδή έχει λογική συνέπεια αλλά αντικρούεται με την διαίσθηση και την εποπτική μας αντίληψη  περί πραγματικότητας; Μπορούμε να δεχθούμε μια θεωρία που περιέχει παράλογα συμπεράσματα σχετικά με την εμπειρία μας επειδή διαθέτει συνέπεια και μη αντιφατικότητα; Μπορούν τα μαθηματικά να απομακρυνθούν από την μελέτη της πραγματικότητας που μας περιβάλλει και να μετατραπούν σε λογικό σύστημα αξιωμάτων;

«Τα γεωμετρικά αξιώματα είναι ως εκ τούτου ούτε συνθετικές εξ’ ορισμού επινοήσεις ούτε εμπειρικά γεγονότα. Είναι συμβάσεις. Η επιλογή μας ανάμεσα σε όλες τις πιθανές συμβάσεις κατευθύνεται από πειραματικά δεδομένα αλλά παραμένει ελεύθερη και περιορίζεται μόνο από την αναγκαιότητα να αποφύγουμε κάθε αντίφαση, και έτσι είναι ότι οι παραδοχές μπορούν να παραμείνουν αυστηρά αληθινές ακόμα και όταν οι πειραματικοί νόμοι που καθόρισαν την υιοθέτησή τους είναι μόνο προσεγγιστικοί «.

Καμμία γεωμετρία δεν είναι περισσότερο αληθινή. Είναι απλά πιο βολική «.
Ανρί Πουανκαρέ. Γάλλος μαθηματικός

ΠΗΓΗ : http://mathmosxos.blogspot.gr

Η ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.
ΑΦΑΙΡΕΣΗαπό φιλοσοφική άποψη είναι η ικανότητα του ανθρώπινου μυαλού να απομονώνει τα βασικά χαρακτηριστικά ομοειδών αντικειμένων και να σχηματίζει τη λογική έννοια στην οποία υπάγονται αυτά τα αντικείμενα, π.χ. δένδρο, αυτοκίνητο, παραλληλόγραμμο, κύλινδρος κλπ.

Μερικές έννοιες που παράγονται με την αφαίρεση δε γίνονται άμεσα αντιληπτές με τις αισθήσεις μας. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η αφαίρεση λειτουργεί σε δεύτερο επίπεδο και οι έννοιες που παράγονται λέγονται αφηρημένες έννοιες. Οι μαθηματικές έννοιες κατά κανόνα ανήκουν σ’ αυτή τη κατηγορία. Ως παράδειγμα αναφέρουμε τους φυσικούς αριθμούς

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ είναι η νοητική λειτουργία, η οποία μας οδηγεί από ένα σύνολο αντικειμένων ενός γνωστικού τομέα σε ένα ευρύτερο, τα αντικείμενα του οποίου έχουν κοινά χαρακτηριστικά με τα αντικείμενα του πρώτου. Ενώ με την αφαίρεση ο νους συγκρατεί τα βασικά γνωρίσματα των αντικειμένων αφαιρώντας τα υπόλοιπα, με τη γενίκευση επεκτείνει τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα και σχηματίζει ευρύτερες συλλογές αντικειμένων που συγκεντρώνουν αυτά τα χαρακτηριστικά.

Περισσότερα εδώ.

                               AΠΟΔΕΙΞΗ  ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ :
ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΝΟΥ  .

Στην κλασσική γεωμετρική μέθοδο των Στοιχείων του Ευκλείδη τα αξιώματα και οι ορισμοί αποτελούσαν τις αρχικές αδιαπραγμάτευτες έννοιες. Θεμελιώδεις αποφάνσεις με υποθετικό χαρακτήρα και αντικειμενική ισχύ. Η αποδοχή τους ήταν καθολική γιατί εξέφραζαν την ουσία των πραγμάτων κατά το απόλυτο είναι τους. Αποτελούσαν εφαρμογή της φυσικής πραγματικότητας και επικυρωνόταν εμπειρικά , ανεξάρτητα από το ατομικό και υποκειμενικό είδωλο. Ήταν δηλαδή οι αναγκαία αληθείς προτάσεις που οδηγούσαν ασφαλώς στη συγκρότηση μιας απαγωγικής επιστήμης που στόχο έχει την ερμηνεία της φυσικής πραγματικότητας. Ανάλογα ο αποδεικτικός συλλογισμός που οδηγεί στην διατύπωση απλών ή πολύπλοκων συμπερασμάτων ( θεωρημάτων ) είναι η μέθοδος συγκρότησης κοσμοθεωρίας που μελετά την φύση των πραγμάτων. Τα πρώτα συμπεράσματα οδηγούν σε νέα μέσα από μια λογική αλληλουχία οικοδομώντας ένα κτίσμα με σαφή και σφιχτοδεμένη δάρθρωση και σύνδεση των μερών του. Οι γενικές επισημάνσεις οδηγούν σε ειδικές μέσα από μια αυστηρή τάξη συλλογισμών. Όλο αυτό το σύστημα όμως  αντικατοπτρίζει έναν λογικό-φυσικό παραλληλισμό και αναπαριστά τη φύση και την ουσία των πραγμάτων. Αποτελεί οικοδόμημα που με στήριγμα τις νοητικές διεργασίες ερμηνεύει και διασαφηνίζει την εμπειρία και την πραγματικότητα.

Στον μετέπειτα φορμαλισμό όμως το ίδιο νοητικό οικοδόμημα λογικής αλληλουχίας συλλογισμών αποκόπτεται από την ουσία του είναι και παραμένει στην ουσία του σκέπτεσθαι. Περνάει από την αναγκαιότητα της φύσης στην απόλυτη αναγκαιότητα του νου. Οι αρχικές έννοιες είναι λογικές συμβάσεις με υποκειμενική θεώρηση και ισχύ. Χάνουν την αντικειμενικότητά τους και την σύνδεση με την παραγματικότητα. Αποτελούν απλές υποθέσεις με διυποκειμενική συναίνεση και χωρίς μοναδική ταυτοποίηση. Εμφανίζονται περισσότερα από ένα υποκειμενικά οικοδομήματα με την ίδια σφιχτοδεμένη διάρθρωση που παρέχουν πολλαπλές ερμηνείες του ίδιου θέματος. Χάνουν κάθε αναφορά στο πράγμα ή στη φύση και συνδέονται μόνο με την απαίτηση του νου για συμβατότητα και πληρότητα. Η εγκυρότητα της δεν στηρίζεται στην περιγραφή μιας πραγματικής ή φανταστικής φύσης αλλά μέσω της ανυπαρξίας της στηρίζεται αποκλειστικά στις νοητικές διεργασίες και στη δύναμη του νου. Η απόδειξη πλέον δεν προσπαθεί να οδηγήσει σε αιώνιες αλήθειες εμπειρικά κατοχυρωμένες αλλά αποτελεί κατάκτηση του ανθρώπινου πνεύματος να σκέπτεται ορθά. Πρόκειται για το πέρασμα από την απόδειξη ως αναγκαιότητα της φύσης στην απόδειξη ως αναγκαιότητα του νου.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers:
search previous next tag category expand menu location phone mail time cart zoom edit close